Estoy tratando de calcular $\sqrt{-g}$ en términos de una métrica de fondo y perturbaciones métricas, a un segundo orden en las perturbaciones. Sé cómo expandir los tensores que dependen de la métrica, pero no sé cómo expandir el determinante métrico. ¿Alguien sabe cómo hacer esto o (aún mejor) sabe de una fuente que hace teoría de perturbación de segundo orden en GR?
Respuestas
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MRA
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El resto de estas respuestas están bien, pero otra forma de hacer este cálculo es escribir el determinante métrico como $g =\frac{1}{4!} \epsilon^{abcd}\epsilon^{efgh}g_{ae}g_{bf}g_{cg}g_{dh}$,
donde se define el símbolo de Levi-Civita $\epsilon^{abcd}$ por las condiciones:
- $\epsilon^{txyz}$ es igual a 1, $ </li> <li>$\epsilon^{abcd}=-\epsilon^{bacd}=-\epsilon^{acdb}=-\epsilon^{abdc}$</li> <li>$\epsilon^{abcd}=0$ si dos índices toman el mismo valor
Entonces, junto con un poco de álgebra, se puede ver que $g^{ab} = \frac{1}{3!g} \epsilon^{aecd}\epsilon^{bfgh}g_{ef}g_{cg}g_{dh}$, y luego hacer la variación es fácil.
Wolfbyte
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Supongo que básicamente has respondido a la pregunta tú mismo. Es posible que tenga que tratar
$$g = \det g_{\mu\nu}$$
y la raíz cuadrada negativa de la misma como una función de la métrica como lo haría para un escalar (rango cero tensor).
La definición del $\det$ se puede encontrar, por ejemplo, en wikipedia.
Atentamente
Robert
