Cubriendo tori, acción

Question

Debería encontrar una acción de los inregers $Z$ en el cilindro $s^1 \times \mathbb{R}$ cuyo espacio cociente es el toroide $S^1 \times S^1$ .

Sé que el círculo $S^1$ puede obtenerse como el cociente de $R$ bajo la acción de los enteros $\mathbb{Z}$ la acción se ve así: $n * x = x+n$ . Sin embargo, no entiendo cómo funciona.

La acción en mi tarea podría ser así:

$(x_1, n * x_2 = x_2+n)$ , xhere $x_1 \in S^1, x_2 \in \mathbb{R}, n \in Z$ Creo que $S^1$ será el mismo. Y $S^1 \times \mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq S^1 \times S^1$ .

Answer 1

De hecho, dejas que $\Bbb Z$ actuar en el $\Bbb R$ -de su cilindro, dejando el $S^1$ -sólo el factor de la seguridad: $$ n*(x,y)=(x,y+n) $$ Esto hace que el $\Bbb R$ -factor de su cilindro en $S^1$ cuando se toma el cociente, pero no toca el $S^1$ factor. Así que terminas con $S^1\times S^1$ .

Podemos ver esto explícitamente. Consideremos la relación de equivalencia resultante: $$ (x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff \exists n\in\Bbb N:n*(x_1,y_1)=(x_2,y_2) $$ ¿Cuál es la clase de equivalencia de un punto arbitrario $(x_1,y_1)$ ¿se ve así? Bueno, si vamos a tener $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$ , entonces debemos tener $x_1=x_2$ (es decir, el $S_1$ se mantiene sin cambios) y debemos tener $y_1-y_2\in\Bbb Z$ , girando el $\Bbb R$ -factor en $\Bbb R/\Bbb Z\cong S^1$ .