¿Cómo encontrar el área de intersección de dos círculos usando geometría axiomática?

Question

Problema: square(ABCD) es un cuadrado regular, y un círculo toca internamente en el cuadrado. Además, el arco(BD) divide el cuadrado. Entonces calcula el área de la región coloreada.

Esta pregunta se resuelve fácilmente cuando se utiliza geometría analítica. Pero no puedo resolverlo solo usando geometría axiomática. ¿Cómo resolverlo sin usar geometría analítica?

Answer 1

Estoy refiriéndome a la siguiente figura:

El área en cuestión se puede ver como la suma formal de dos sectores circulares menos dos triángulos.

Tenga en cuenta que $$b={a\over2}, \quad c={a\over\sqrt{2}}\ ,$$ y el teorema del coseno permite calcular los ángulos $\alpha$ y $\beta: $$\cos\alpha={b^2+c^2-a^2\over 2 bc}=-{\sqrt{2}\over4},\qquad \cos\beta={a^2+c^2-b^2\over 2ac}={5\sqrt{2}\over 8}\ .$$ Las áreas de los dos sectores circulares están dadas por $$A_\alpha={b^2\over2}\cdot2\alpha={\alpha\over4}a^2,\qquad A_\beta={a^2\over2}\cdot 2\beta=\beta a^2\,$$ y el área de un triángulo está dada por $$A_\triangle={1\over2}ac\>\sin\beta={\sqrt{7}\over16}a^2\ .$$ Por lo tanto, el área sombreada es $$A=A_\alpha+A_\beta-2A_\triangle=\left({1\over4}\arccos{-\sqrt{2}\over4}+\arccos{5\sqrt{2}\over8}-{\sqrt{7}\over8}\right)a^2\doteq0.639\>a^2\ .$$