El paquete universal orientado en clases características por J.W. Milnor.

Question

Tengo un problema para entender la sección "El paquete universal orientado" en la página 145 de "Clases características" escrito por J.W. Milnor.

El contenido de esa página es como el de abajo,

$G_n(\mathbb{R}^{n+k})$ es una variedad de Grassmann no orientada. Sea $\tilde{G_n}(\mathbb{R}^{n+k})$ denota la variedad de Grassmann que consiste en todas las $n$ -aviones en $(n+k)$ -espacio. $(G_n = G_n(\mathbb{R}^{\infty})$ y $\tilde{G_n} = \tilde{G_n}(\mathbb{R}^{\infty}))$ .

Entonces el libro dice que el paquete universal $\gamma^n$ en $G_n$ se eleva a un orientado $n$ -planeta, $\tilde{\gamma}^n$ en $\tilde{G_n}$ . Además, para cualquier orientación $n$ -plano de paquetes $\xi$ cada mapa del haz $\xi \rightarrow \gamma^n$ se eleva de forma única a un mapa del haz que preserva la orientación $\xi \rightarrow \tilde{\gamma}^n$ .

Pero no puedo entender cómo $\gamma^n$ en $G_n$ se eleva a un orientado $n$ -haz de planos sobre $\tilde{G_n}$ .

En mi opinión, $\tilde{\gamma}^n$ es un haz inducido de $\gamma^n$ mediante un mapa de cobertura $p : \tilde{G_n} \rightarrow G_n$ . Comprar ¿por qué es orientable?

¿Puede alguien darme una pista para entender esta afirmación?

Gracias.

Answer 1

Intuitivamente: los puntos de $\tilde{G_n}(\mathbb{R}^{n+k})$ son pares $(p,\varphi)$ de un $n$ -y una orientación de la misma. El haz tautológico tiene la fibra $p$ en el punto $(p,\varphi)$ que naturalmente puede recibir la orientación $\varphi$ .

Una prueba clara de la orientabilidad es la siguiente: el grassmanniano orientado es simplemente conexo, como se puede calcular directamente a partir de la descripción de un espacio homogéneo o como se deduce del hecho de que cubre doblemente un espacio con grupo fundamental de dos elementos. Y todo haz vectorial sobre una variedad simplemente conexa es orientable.