Qué es un ejemplo simple de una prueba de "absurdo abstracto" en teoría de la categoría. Por un teorema que está demostrando, no importa si la categoría o prueba regular vino primera, es sólo que la categoría uno debería ser más simple o más elegante. Tenga en cuenta que no importa si los requisitos de la categoría no son algunos qué complicados. Especie de estoy en busca de qué teoría de la categoría puede transferir las pruebas de un campo a otro. Si es posible debe ser en un nivel bastante sencillo.
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Pece
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Uno de mis favoritos :
El grupo fundamental de un grupo topológico es abelian.
Prueba. El grupo fundamental de la functor $\pi_1 \colon \mathsf{Top}_\bullet \to \mathsf{Grp}$ a partir de la categoría de punta espacios topológicos a la categoría de grupos de conservas de productos, de ahí que los objetos de grupo. A continuación, asigna los objetos de grupo de $\mathsf{Top}_\bullet$, es decir, señaló topológica de los grupos, grupo de objetos de $\mathsf{Grp}$, es decir, abelian grupos (un grupo abelian si y sólo si la inversión es un grupo de morfismos). CQFD.
(La prueba usual consiste en la construcción explícita de un homotopy entre la concatenación $\gamma \cdot \eta$ de bucles $\gamma,\eta$ y el bucle de $t \mapsto \gamma(t)\eta(t)$, y otro entre la tarde y $\eta\cdot\gamma$.)
Como visto en los comentarios, mi justificación de los objetos de grupo en $\mathsf{Grp}$ es poco claro. Tome $G$ a un grupo con el grupo de morfismos $m \colon G \times G \to G$, $i \colon G \to G$ y $e \colon 1 \to G$ lo que es un objeto de grupo : a continuación, $e$ (como un grupo de morfismos) seleccione el grupo de la unidad de $1_G$$G$ ; por lo tanto $$m(g,h) = m((g,1_G)(1_G,h)) = m(g,1_G) m(1_G,h) = gh ; $$ so $i \colon G \G$ is the true inversion (the one in $G$).
Malice Vidrine
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Bueno, hay Lawvere bastante agradable a prueba de una forma de Cantor del teorema; es decir, si un objeto $X$ índice de todos los de su propia morfismos $X\to A$, entonces cada endomorfismo de $A$ tiene un punto fijo.
Suponga $e:X\times X\to A$ tiene la característica universal de una evaluación de morfismos, y deje $f$ ser cualquier morfismos $A\to A$. Se forma el compuesto $m:=f\circ e\circ\langle id_X, id_X\rangle:X\to A$. Por la característica universal para$X$$e$, hay un único morfismos $q:1\to X$$e\circ \langle id_X, q!\rangle=m$. Si hacemos un poco de flecha persiguiendo, sin embargo, podemos ver que $m\circ q=f\circ m\circ q$, e $f$ por lo tanto tiene un punto fijo; pero $f$ fue arbitraria, por lo que cualquier $f$ tendría un punto fijo.
