El dominio de $F^\dagger$ se compone de todos los $g\in\mathcal H$ tal que, para todo $f\in Dom(F)$ el producto interior $\left<g,Ff\right>$ puede escribirse como $\left<h,f\right>$ para algunos $h\in \mathcal H$ . A continuación, definimos $F^\dagger g := h$ .
Si $Dom(F)$ es denso en $\mathcal H$ entonces esto $h$ es único, ya que si $\left<h_1,f\right>=\left<h_2,f\right>$ entonces $\left<h_1-h_2,f\right> = 0$ . Dado que cualquier $\psi\in \mathcal H$ puede escribirse como el límite de una secuencia $\{f_n\}$ (que es lo que significa que un subconjunto sea denso), se deduce que
$$\left<h_1-h_2,\psi\right>=\left<h_1-h_2,\lim_{n\rightarrow \infty}f_n\right>= \lim_{n\rightarrow \infty} \left<h_1-h_2,f_n\right> = 0$$
donde hemos utilizado que el producto interior es un mapa continuo. Como esto es válido para todos los $\psi\in \mathcal H$ se deduce que $h_1-h_2=0 \implies h_1 = h_2$ .
La singularidad de $h$ significa que el operador $F^\dagger: g\mapsto h$ está bien definida en todos los $g\in Dom(F^\dagger)$ . También sabemos que $Dom(F^\dagger)$ es no vacía, porque no importa lo que $F$ es, $Dom(F^\dagger)\supseteq \{0\}$ (esto es fácil de comprobar).
Por lo tanto, se deduce que cualquier operador densamente definido $F$ tiene un adjunto bien definido $F^\dagger$ . En principio, es posible que $F^\dagger$ es trivial, lo que significa que el único elemento de su dominio es $0$ . En el otro extremo, puede ser que $F^\dagger = \mathcal H$ el espacio de Hilbert completo. Sin información adicional sobre $F$ No es posible ser más específico sobre $F^\dagger$ .
Pero cuál es la garantía de que dicho operador, $F^\dagger$ con esta propiedad existe para cualquier operador arbitrario $F(\mathbf r,\frac{1}{i}\nabla_\mathbf{r})$ ?
Esta es una cuestión sutil, y ciertamente no es cierto que cualquier operador que pueda escribirse como una "función" de los operadores de posición y momento esté definido en un dominio denso. A modo de ejemplo, el operador
$$(F\psi)(x)= \sum_{n=1}^\infty x^n\psi(x)$$
está bien definida sólo para $\psi$ que son cero fuera del rango $x\in(-1,1)$ que ciertamente no es un subconjunto denso de $L^2(\mathbb R)$ Esto significa que $F$ no tiene único adjunto. Sin embargo, si se restringe la atención a sumas simples y productos de $x$ y $p$ se puede encontrar el adjunto mediante integración por partes.
Por ejemplo, consideremos el pozo cuadrado infinito, así $\mathcal H=L^2([0,1])$ . Definir el operador $F = \frac{d}{dx}$ con dominio $Dom(F) = C^1([0,1])$ - las funciones continuamente diferenciables en $[0,1]$ .
Entonces tendríamos $$\left<g,Ff\right> = \int g(x)^* f'(x) dx \underbrace{ = }_{IBP} g(x)^*f(x)\bigg|^1_0 -\int g'(x)^* f(x) dx$$ Para que esto sea de la forma $\left<h,f\right>$ para algunos $h$ el término de frontera debe desaparecer, lo que significa que necesitamos $g(0)=g(1)=0$ (porque $f$ puede tomar cualquier valor en los extremos). En ese caso, tenemos $^\dagger$
$$F^\dagger = -\frac{d}{dx}$$ $$Dom(F^\dagger)= \left\{ g\in C^1([0,1]) \ \big| \ g(0)=g(1)=0\right\}$$
$^\dagger$ Este dominio no es del todo correcto, pero se acerca lo suficiente para la presente discusión.
