El mapa bilineal que envía $(z_1,z_2,z_3)\to (\infty,0,1)$

Question

El mapa bilineal que envía $(z_1,z_2,z_3)\to (\infty,0,1)$ viene dada por $f(z)=\frac{(z-z_2)(z_3-z_1)}{(z-z_1)(z_3-z_2)}$

¿Puedo extraer alguna expresión que envíe a la otra? Es decir

$(\infty,0,1)\to (z_1,z_2,z_3) $ ?

Conozco una expresión que envía cualquier $(z_1,z_2,z_3)\to (w_1,w_2,w_3)$ pero no me acuerdo de esa expresión. ¿hay alguna forma de construirme a partir de la anterior que siempre recuerdo por $(23132)$

Answer 1

Usted hace el Ansatz $$f(z)={az+b \over cz+d}$$ Entonces $f(\infty)=\frac ac=z_1, f(0)=\frac bd=z_2$ y $f(1)=\frac {a+b}{c+d}=z_3$ . Ahora resuelve para $a,b,c,d$ observando que la respuesta es única hasta los múltiplos lineales (es decir, si $(a,b,c,d)$ una solución, entonces también $(\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d)$ es una solución para $\lambda\neq 0$ ).