Encontrar la integral del tipo $\frac{px+q}{ax^2 +bx + c}$

Question

El libro de texto dice que para encontrar la integral del tipo $\dfrac{px+q}{ax^2 +bx + c}$ , donde $p,q,a,b,c$ son constantes, debemos encontrar números reales $A$ y $B$ tal que

$$px+q = A \dfrac{d}{dx} (ax^2 + bx + c) + B => A(2ax+b) + B.$$

Ahora para determinar $A$ y $B$ , igualamos ambos lados de los coeficientes de $x$ y términos constantes para que la integral se reduzca a una de las formas conocidas [como " $\dfrac{1}{x^2 - a^2}$ "], y entonces podemos encontrar la integral fácilmente.

Pero, ¿Puedes explicar por qué tenemos que diferenciar el denominador de la integral dada? No soy capaz de ver cómo funciona. ¿Por qué tenemos que encontrar $\frac{d}{dx}$ de $(ax^2 + bx + c)$ ? ¿Cómo funciona?

Gracias

Answer 1

Dejemos que $f/g$ ser su fracción. Si puedes reescribir $f$ en la forma $f = a g' + b$ para las constantes $a, b$ entonces $$\int \frac{f}{g} = \int \frac{ag'+b}{g} = a \int \frac{g'}{g} + b \int \frac{1}{g},$$ y puede integrar directamente $\frac{g'}{g}$ como $\ln |g|$ . Esto reduce el problema a calcular una integral de la forma $\int 1/g$ donde $g$ es un polinomio cuadrático, por lo que una de las primitivas estándar $$ \int \frac{dx}{x^2}, \quad\int \frac{dx}{x^2+a^2} \quad\text{or} \int \frac{dx}{x^2-a^2}.$$ (Dependiendo del discriminante de su función cuadrática).

Answer 2

Si puede encontrar $A$ y $B$ satisfaciendo las condiciones requeridas, entonces la integral del tipo dado puede reescribirse $$\int \left(\frac{A(2ax+b)}{ax^2+bx+c} + \frac{B}{ax^2+bx+c}\right)dx$$ Diferenciar el denominador es lo que nos permite escribir la integral en esta forma. Entonces, la integral de la función de la izquierda se puede encontrar fácilmente utilizando la sustitución y la integral de la función de la derecha se puede encontrar completando el cuadrado y haciendo otra sustitución.

Así es como puede encontrar $A$ y $B.$ En primer lugar, esa flecha que tienes en tu pregunta debería ser realmente un signo de igualdad. Entonces $px+q=A(2ax+b)+B.$ Igualar los coeficientes de $x$ a la izquierda y a la derecha y haz lo mismo con los términos constantes (como harías con el método de las fracciones parciales). Esto establece un sistema de 2 ecuaciones en $A$ y $B$ que puedes resolver para encontrar $A$ y $B$ en términos de $p,q,a$ y $b.$