Una propiedad de dominación para el espacio de Hardy $H^1$

Question

En la teoría de los espacios de Hardy del disco unitario, un hecho que se utiliza implícitamente con bastante frecuencia es que si $f\in H^p, 1<p<\infty$ entonces existe una función $F\in H^p$ tal que $|f(z)| \leq |F(z)|, \,\, \forall z \in \mathbb{D}$ , $ Re F \geq 0$ y $ \Vert F \Vert_p \leq c_p \Vert f \Vert_p $ .

Para ver por qué esto es así, teniendo en cuenta $f\in H^p$ definir \begin{equation*} F(z) = \int_{\mathbb{T}} |f(\zeta)| \frac{1+\overline{\zeta}z}{1-\overline{\zeta}z} |d\zeta|. \end{equation*}

Esto se llama a veces la transformada de Herglotz de $|f|$ pero la cuestión es que es un operador lineal acotado de $L^p(\mathbb{T})$ en $H^p$ como corolario del Teorema de M. Riesz. Por lo tanto, $F$ definido así tiene las propiedades requeridas.

Me preguntaba si la existencia de tal $F$ podría ser también cierto en el caso $p=1$ . Aunque la construcción debería ser completamente diferente debido al fracaso del Teorema de M. Riesz para $p=1$ .

Answer 1

En general es imposible. Podemos tomar la raíz cuadrada, mapear el círculo conformemente al semiplano, y llegar al siguiente problema: dado cualquier no negativo $f\in L^2(\mu)$ con integral logarítmica finita, podemos encontrar $g\in H^2(\mu)$ con $\Re g\ge f$ y $|\Im g|\le \Re g$ donde $d\mu(x)=\frac{dx}{1+x^2}$ ? Ahora, si eso es posible para todos $f$ también es posible con el $H^2(\mu)$ norma de $g$ limitado por $C\|f\|_{L^2(\mu)}$ .

Vamos a hacer el habitual reventón ahora tomando algunas $f\in L^2(dx)$ y considerando $f(nx)$ en lugar de $f$ . Entonces, cuando reduzcamos la escala, obtendremos mayores $g_n\in H^2(\mu_n)$ tal que $\|g_n\|_{H^2(\mu_n)}\le C\|f\|_{L^2(\mu_n)}\le C\|f\|_{L^2(dx)}$ con $d\mu_n(x)=\frac{dx}{1+(x/n)^2}$ . Podemos pasar a una subsecuencia y suponer que $g_n$ convergen a algún $g$ débilmente en $L^2(dx)$ en cada subintervalo de $\mathbb R$ . Entonces tendremos $g\in H^2(dx)$ y todavía tenemos $\Re g\ge f, |\Im g|\le \Re g$ (la desaparición de la transformada de Fourier en el semieje negativo y las comparaciones con funciones no negativas pueden comprobarse mediante la integración contra $L^2(dx)$ funciones, y la norma sólo puede bajar).

Pero para $H^2(dx)$ funciones tenemos $\int_{\mathbb R}|\Re g|^2dx=\int_{\mathbb R}|\Im g|^2$ , por lo que nos vemos obligados a tener $|\Im g|=\Re g$ en casi toda la línea. Pero entonces $g^2\in H^1(dx)$ y $\Re[g^2]=0$ en $\mathbb R$ , lo cual es imposible.

Por lo tanto, un golpe suficientemente fuerte en un punto le dará un contraejemplo. Para averiguar exactamente cuán fuerte es "suficientemente fuerte", hay que hacer cuantitativa toda esa tontería del límite débil, lo que dejo a otra persona :-)