Simplificación de una expresión integral definida

Question

Si $a_1,a_2,a_3$ son los tres valores de a que satisfacen la ecuación $$\int_{0}^ {\pi/2}(\sin x+a\cos x)^3dx-\frac{4a}{\pi-2}\int_{0}^{\pi/2}x\cos x dx=2$$ Encuentre el valor de $a_1+a_2+a_3$ .

Ahora encontré el valor de la segunda integral que resulta ser $\frac{\pi-2}{2}$ . Pero no puedo encontrar el valor de la primera integral. Por favor, ayuda, gracias.

Answer 1

Pero no soy capaz de encontrar el valor de la primera integral.

Uno puede simplemente expandir el integrando, $$ \int_{0}^ {\pi/2}(\sin x+a\cos x)^3dx=\int_{0}^ {\pi/2}(\sin^3 x+3a\sin^2 x \cos x+3a^2\sin x \cos^2 x+a^3\cos^3 x)\:dx $$ entonces observando que, $$ \begin{align} &\int_{0}^ {\pi/2}\sin^3 x \:dx=\int_{0}^ {\pi/2}\cos^3 x \:dx==\int_{0}^ {\pi/2}(1-\sin^2 x)\cos x \:dx=\int_0^1(1-u^2)\:du=\frac23 \\\\&\int_{0}^ {\pi/2}\sin^2 x \cos x\:dx=\int_{0}^ {\pi/2}\cos^2 x \sin x\:dx=\int_0^1u^2\:du=\frac13 \end{align} $$ obtenemos, para la primera integral,

$$ \int_{0}^ {\pi/2}(\sin x+a\cos x)^3dx=\frac23a^3+a^2+a+\frac23. $$

Answer 2

Como se pide la suma de las raíces, basta con calcular los coeficientes de los dos términos principales de la expresión, que es un polinomio cúbico.

$$a^3\to\int_0^{\pi/2}\cos^3(x)dx=\int_0^{\pi/2}\cos(x)(1-\sin^2(x))dx=\int_0^1(1-t^2)dt=\frac23,$$

$$a^2\to3\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos^2(x)dx=-\int_1^03t^2dt=1.$$

De ahí la respuesta $a_1+a_2+a_3=-\dfrac32$ . No es necesario calcular otros términos.

Answer 3

Para encontrar el valor de la primera integral, utilizando que

$$\sin^3\alpha=\frac{-\sin(3\alpha)+3\sin\alpha}{4}\quad\text{and}\quad\cos^3\alpha=\frac{3\cos\alpha+\cos(3\alpha)}{4}$$ da $$\begin{align}&\int_{0}^{\pi/2}(\sin x+a\cos x)^3dx\\&=\int_{0}^{\pi/2}(\sin^3x+3a\sin^2x\cos x+3a^2\sin x\cos^2x+a^3\cos^3x)dx\\&=\left[\frac{\cos(3x)-9\cos x}{12}+a\sin^3x-a^2\cos^3x+\frac{9\sin x+\sin(3x)}{12}a^3\right]_{0}^{\pi/2}\\&=\left(a+\frac{8}{12}a^3\right)-\left(\frac{-8}{12}-a^2\right)\\&=\frac 23a^3+a^2+a+\frac 23\end{align}$$ Por último, utiliza la fórmula de Vieta.