Definir $f : X \to Y$ . Prueba $f[ \bigcup_{i}A_i] = \bigcup_{i} f[A_i]$ para una familia $\{A_i\}$ de subconjuntos de $X$ .

Question

Definir $f : X \to Y$ . Prueba $f[ \bigcup_{i}A_i] = \bigcup_{i} f[A_i]$ para una familia $\{A_i\}$ de subconjuntos de $X$ .

Mi intento de prueba .

Primero mostramos $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \subset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . Escoge $x \in \bigcup_{i}A_i$ mostramos $f(x) \in \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . Desde $x \in \bigcup_{i}A_i$ tenemos $x \in A_i$ para algunos $i$ por lo que tenemos $f(x) \in f[A_i]$ para esto $i$ y por lo tanto $f(x) \in \bigcup_{i} f[A_i]$ . Por lo tanto, se deduce que $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \subset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ .

A la inversa, mostramos $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \supset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . Arreglar $i$ , toma $x \in A_i$ entonces $f(x) \in f[A_i]$ y $f(x) \in \bigcup_{i} f[A_i]$ . Desde $x \in A_i$ para algunos $i$ tenemos $x \in \bigcup_{i} A_i$ ciertamente y por lo tanto $f(x) \in f\left[\bigcup_{i} A_i\right]$ por lo que se deduce que $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \supset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . $\ \ \ \square$

---

¿Es correcta mi prueba? Si es así, cualquier comentario sobre mi redacción de la prueba y cómo hacer que mis argumentos sean más claros para el lector será muy apreciado.

Answer 1

Tu prueba es básicamente correcta, pero hay una parte en la que tu redacción no es realmente correcta.

A la inversa, mostramos $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \supset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . Arreglar $i$ , toma $x \in A_i$ entonces $f(x) \in f[A_i]$ y $f(x) \in \bigcup_{i} f[A_i]$ .

La segunda frase está escrita al revés. Usted quiere demostrar que $f\left[ \bigcup_{i}A_i\right] \supset \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ Así que quieres demostrar que si $y\in \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ entonces $y\in f\left[ \bigcup_{i}A_i\right]$ . Así que su suposición inicial no debería ser que tiene $x\in A_i$ pero que tienes $y\in \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . A continuación, puede utilizar la definición de unión e imagen para concluir que existe $i$ y $x\in A_i$ tal que $y=f(x)$ . Por ejemplo, puedes escribir:

Dejemos que $y\in \bigcup_{i} f\left[A_i \right]$ . Entonces existe $i$ tal que $y\in f\left[A_i \right]$ lo que significa que existe $x\in A_i$ por eso $i$ tal que $y=f(x)$ .