Deseo preguntar si $D(\mathbb Z^*_n)=\mathbb Z_n^+$ dado $n$ es impar.
Esto equivale a demostrar que: Para cada $l\in\mathbb Z^+_n$ el conjunto $l+\mathbb Z^*_n=\{a+l:a\in\mathbb Z^*_n\}\subset\mathbb Z^+_n$ se cruza con $\mathbb Z^*_n$ en un conjunto no vacío.
Donde $|\mathbb Z^*_n|>\frac12|\mathbb Z^+_n|$ esto es muy fácil de ver, ya que no puede haber dos conjuntos disjuntos, en cualquier conjunto $A$ cada uno con una cardinalidad superior a la mitad de la de $A$ .
Pero esta desigualdad de cardinalidad NO siempre se cumple. De hecho $|\mathbb Z^*_n|$ como una fracción de $|\mathbb Z^+_n|$ puede llegar a ser arbitrariamente pequeño, ya que $n$ puede tener un número arbitrario de factores primos distintos. Por lo tanto, esto allana el camino para $l+\mathbb Z^*_n$ sea disjunta de $\mathbb Z^*_n$ para algunos $l\in\mathbb Z^+_n$ , refutando así la afirmación de la primera línea.
El más pequeño $n$ donde la fracción $\displaystyle\frac{|\mathbb Z^*_n|}{|\mathbb Z^+_n|}$ está por debajo de la mitad es $n=105$ Sin embargo, la afirmación de la línea 1 sigue siendo válida.
Otra cosa que se nota es cuando $(l,n)=1$ . Entonces, definitivamente $(2l,n)=1$ . Entonces $l$ se produce como la diferencia de $2l$ y $l$ para que $D(\mathbb Z^*_n)$ contiene $\mathbb Z^*_n$ seguramente.
ACTUALIZACIÓN: La cardinalidad de $D(\mathbb Z^*_n)$ no puede superar $\phi(n)^2-\phi(n)+1$ como las diferencias $a-a$ son todos $0$ y deben ser contados como uno solo.
¡Necesito ayuda!
P.D. Una versión equivalente (en teoría de anillos) es la siguiente:
En el ring $\mathbb Z_n$ de enteros módulo $n$ ¿se puede escribir cada elemento como la diferencia de dos unidades? ¿Puede intervenir la teoría de los anillos?
