¿Cómo definir la media del conjunto de índices de un elemento en una colección de conjuntos?

Question

Definamos un conjunto $U=\{u_1, u_2,\dotsc, u_n\}$ con cardinalidad $|U|=n$ y una colección de conjuntos de permutaciones o $n$ -tuplas de longitud $n$ cada uno: $O=\{o_1, o_2, \dotsc, o_k\}$ con cardinalidad $|O|=k$ . Por ejemplo, para un elemento $o_1 \in O =\{u_4, u_1, u_7, \dotsc, u_n \}$ .

Entonces necesito definir un conjunto de índices de posiciones de cada elemento en $U$ , en todos $O$ pedidos, pero no estoy seguro de cómo. Ejemplo: para un elemento en $u_1 \in U$ La posición de $u_1$ en $o_1$ es $p_1=2$ La posición de $u_1$ en $o_2$ es $p_2=3$ La posición de $u_1$ en $o_3$ es $p_3=3$ y así sucesivamente hasta el último elemento $o_k \in O$ . De este modo, se obtendrá un conjunto de índices de $u_1$ de tamaño $k$ un ejemplo: $R_{u{_1}}=\{p_1, p_2, p_3, \dots, p_k\}=\{2,3,3, \dots, p_k\}$ .

Finalmente quiero formular con buena notación un promedio $\sum R_{u_1}=(p_1 + p_2 + p_3 + \dots p_k)/k$ de este conjunto de índices para todos los $u \in U$ .

¿Cómo puedo expresar este procedimiento con una notación correcta?

Answer 1

Para cada permutación $o_i\in O$ considere una permutación estándar $\sigma_i$ del conjunto $\{1,\dots,n\}$ tal que $o_i=\{u_{\sigma_i(1)}, u_{\sigma_i(2)},\dots, u_{\sigma_i(n)}\}$ . Por ejemplo, si $o_1 \in O =\{u_4, u_1, u_7, \dotsc, u_n \}$ entonces $\sigma_1=\{4, 1, 7, \dotsc, n\}$ . Entonces una posición $p_i$ de un elemento $u_j\in U$ en $o_i$ satisface $u_{\sigma_i(p_i)}=u_j$ Es decir $j=\sigma_i(p_i)$ y $p_i=\sigma^{-1}_i(j)$ Así que $\sum R_{u_j}=\tfrac 1k\sum \sigma_i^{-1}(j)$ .