$\sum_{n=1}^{p-1}{\frac{1}{n}} = \frac{A_p}{B_p}$ ¿Qué es? $A_p$ (mod $p^2$ ) donde $\frac{A_p}{B_p}$ ¿es una fracción de forma reducida?

Question

De Silverman's Una introducción amigable a la teoría de los números El ejercicio 12.3 (no es una tarea). Empezamos con un número primo $p$ y que

$$\sum_{n=1}^{p-1}{\frac{1}{n}} = \frac{A_p}{B_p}$$

donde $\frac{A_p}{B_p}$ es una fracción de forma reducida. El ejercicio pide encontrar una forma sencilla de expresar $A_p$ (mod $p^2$ ).

Entiendo que $A_p$ es $0$ (mod $p$ ), lo que se puede demostrar reescribiendo $A_p$

$$A_p = \sum_{n=1}^{p-1}{\frac{(p-1)!}{n}}$$

y observando que cada término de la suma tiene la forma

$$\frac{(p-1)!}{n}$$

que nos permite escribir

$$(p-1)! \equiv -1 \text{ (mod } p)\\ \frac{(p-1)!}{n} \cdot n \equiv -1 \text{ (mod } p)\\ \frac{(p-1)!}{n} \equiv -n^{-1} \text{ (mod } p).$$

Dado que cada número entre $1$ y $p$ - $1$ está representado por $-n^{-1}$ (mod $p$ ) para un único $n$ entre $1$ y $p$ - $1$ podemos escribir

$$A_p \equiv T_{p-1} = \frac{(p-1)p}{n} \equiv 0 \text{ (mod } p).$$

Sin embargo, el problema sólo pide $A_p$ (mod $p^2$ ), por lo que no sé cómo proceder. He probado todos los números primos hasta $p = 37$ y descubrió que, con la excepción de $p = 3$ cada valor de $A_p$ es $0$ (mod $p^2$ ).

Si alguien que entienda lo que me falta puede indicarme la dirección correcta o darme una pista se lo agradecería.

EDITAR

Se ha sugerido que el teorema de Wolstenholme puede utilizarse para terminar la prueba. La conexión entre el problema aquí y el teorema de Wolstenholme es interesante, así que intentaré estudiar el teorema de Wolstenholme. Sin embargo, no parece un camino probable desde mi punto de vista. También soy escéptico de que Silverman pretendiera que el público de su libro descubriera el teorema de Wolstenholme como un lema para demostrar que $A_p$ es $0$ (mod $p^2$ ).

Answer 1

Al final encontré una solución. El truco consiste en sacar primero un factor $p$ para demostrar que la expresión restante sigue siendo $0$ (mod $p$ ).

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{p-1}{\frac{1}{n}} &= \sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}{(\frac{1}{n} + \frac{1}{p-n})} \\ &= \sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}{\frac{p}{n(p-n)}} \end{align*}$$

Después de eliminar $p$ obtenemos

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}{\frac{1}{n(p - n)}} &\equiv \sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}{\frac{1}{n(0 - n)}} &(\text{mod } p) \\ &= \sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}{-n^{-2}} \\ &\equiv -2\sum_{n=1}^{p-1}{n^{-2}} &(\text{mod } p) \end{align*}$$

Desde $\sum_{n=1}^{p-1}{n^{-2}}$ es sólo una reordenación de los términos de $\sum_{n=1}^{p-1}{n^{2}}$ (mod $p$ ) podemos escribir

$$\begin{align*} -2\sum_{n=1}^{p-1}{n^{-2}} &\equiv -2\sum_{n=1}^{p-1}{n^{2}} &(\text{mod } p) \\ &= -2\frac{(p-1)p(2(p-1) + 1)}{6} \\ &= -\frac{(p-1)p(2p - 1)}{3} \\ &\equiv 0 & (\text{mod } p) \text{ if } p \ne 3 \end{align*}$$