El término de segundo orden que implica la curvatura extrínseca fue introducido por primera vez por Polyakov $^1$ que aumentó el Nambu-Goto como: $$ S_\text{NG}=\mu_0\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-\det g_{\alpha\beta}} \\S_{(2)}=\frac{1}{\alpha_0}\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-\det g_{\alpha\beta}}\ (K^i_{\rho\sigma})^2 \\S'=S_\text{NG}+S_{(2)} $$ donde $\alpha_0$ es el parámetro de rigidez (libre) y $K^i_{\rho\sigma}$ es el segunda forma fundamental de la hoja de mundo, por lo que este término adicional representa las fluctuaciones de la anchura de la hoja de mundo. Se define por: $$ \nabla_\beta\partial_\alpha X^\mu\equiv \sum_i K^i_{\alpha\beta} n^\mu_i $$
También se podría pensar en añadir un término escalar de Ricci del mismo orden, pero esto se ve equivalente a $S_{(2)}$ hasta una divergencia total. De hecho, todos los términos geométricos, como las normales y las tangentes, pueden construirse a partir de la métrica inducida $g_{\alpha\beta}$ (la primera forma fundamental) y la segunda forma fundamental anterior. En efecto, $S_{(2)}$ es la única extensión de la acción NG, hasta las divergencias totales, que es invariante de Poincaré, invariante de la reparametrización de la hoja del mundo y también invariante de la escala. La motivación de Polyakov era estudiar la estructura de fase de la teoría de cuerdas en el IR. Curiosamente, esta corrección de segundo orden no cambia las ecuaciones de movimiento para una cuerda aislada.
Si escribimos la tensión $\mu_0$ como $\mu_0\sim\ell^{-2}$ entonces vemos que $S_{(2)}$ se suprime por la escala de masa inducida por la longitud de la cuerda. Esto sugiere que podemos formar una teoría del campo efectivo utilizando invariantes geométricos locales de la hoja del mundo, de todos los órdenes. En particular, podemos construir términos de derivación superior utilizando las derivadas y la parte de torsión de la $K_{\alpha\beta}$ , todos suprimidos por factores de $\ell^{2}$ . $$ S_\text{eff}=\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-\det g_{\alpha\beta}}\left(\ell^{-2}+\frac{1}{\alpha_0}(K_{\sigma\rho})^2+\ell^2(...)\right) $$
La relevancia de este modelo es más prominente no en la teoría de cuerdas mismo pero en los tubos de flujo, los vórtices y las cuerdas cósmicas, donde se conoce como la "acción efectiva de la cuerda larga". Esencialmente, en ausencia de las restricciones de la teoría de cuerdas propiamente dicha, la Modos Nambu-Goldstone debido a la ruptura de $D-2$ simetrías traslacionales $^2$ por la cuerda son los únicos estados sin masa en el espectro, por lo que podemos integrar los modos masivos debidos a las fluctuaciones transversales y obtener una descripción efectiva de las fluctuaciones longitudinales de los bosones NG a lo largo de la cadena. Nótese que cualitativamente esto es muy similar a la Construcción Coleman-Callan-Wess-Zumino para piones.
Hay construcciones más modernas $^3$ pero el método más sencillo, como el anterior, es trabajar en un marco independiente de las coordenadas y construir términos de orden superior que sean $\mathrm{ISO}(1,1)\times\mathrm{SO}(D-2)$ invariante (incluso si esta simetría se realiza de forma no lineal) por ejemplo $\int\sqrt{-g}R^2$ , $\int\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}g^{\gamma\delta}g^{\epsilon\zeta}g^{\eta\kappa}K^i_{\alpha\beta}K^i_{\gamma\delta}K^j_{\epsilon\zeta}K^j_{\eta\kappa}$ etc. con el factor apropiado de $\ell$ . Sin embargo, hay que recordar que la determinación del prefactor numérico preciso para cada término es una cuestión de concordancia con la teoría UV (al igual que con otras EFTs) o, dependiendo del modelo específico que se considere, utilizando cálculos explícitos de celosía.
$^1$ A. M. Polyakov, Estructura fina de las cuerdas , Nucl. Phys. B268 (1986) 406-412.
$^2$ En concreto, la ruptura de la simetría es $\mathrm{ISO}(D-1, 1)\to\mathrm{ISO}(1,1)\times\mathrm{SO}(D-2)$
$^3$ Polchinski, Strominger, Acciones efectivas de la cadena Phys. Rev. Lett. 67, 1681
