Buena demostración de la desigualdad del triángulo para la métrica del plano hiperbólico

Question

Estoy escribiendo algo para la revista de la universidad sobre el espacio de Lorentz, y quiero demostrar que la siguiente definición de la distancia hiperbólica en la hoja superior del hiperboloide $v \cdot v=-1$ es una métrica:

La distancia hiperbólica entre $u$ y $v$ es el único número positivo $\eta (u,v)$ tal que $$\cosh(\eta(u,v))=-u \cdot v. $$

Las primeras propiedades son fáciles, pero todas las pruebas de la desigualdad del triángulo que he visto parecen complicadas. En el libro Foundations of Hyperbolic Manifolds de Ratcliffe se utiliza el producto cruzado lorentziano junto con muchas de sus propiedades, y me gustaría no tener que introducir el producto cruzado sólo para esta demostración.

He pensado en demostrar que el ángulo hiperbólico es el mismo que la distancia de longitud de arco lorentziana, y luego demostrar que la métrica dada por la longitud de arco satisface la desigualdad del triángulo, pero esto parece aún más tedioso. ¿Existe una prueba más corta y agradable de esto?

Answer 1

Tenemos que comprobar $\eta(u,v)+\eta(v,w)\ge\eta(u,w)$ . Introducir coordenadas $x,y,z$ para que la forma sea $x^2+y^2-z^2$ .

En primer lugar, verificar que existe un mapa de Lorentz que envía $v$ a $(0,0,1)$ . Como se trata de una isometría, podemos suponer ahora que $v=(0,0,1)$ . Esta es la idea principal. Para mayor comodidad, también puede girar el $xy$ -para que el $y$ -coordinación de $u$ es igual a 0.

A continuación, observamos que la fórmula da lugar a la igualdad en el caso de que las proyecciones de $u$ y $w$ a la $xy$ -son puntos finales de un segmento que contiene (0,0). Esto es sencillo si se escribe $u=(\sinh a,0,\cosh a)$ y $w=(-\sinh b,0,\cosh b)$ donde $a,b\ge 0$ .

Por último, gire $w$ alrededor del $z$ -eje hasta que llegue a una posición como la anterior. El producto $u\cdot w$ crece hacia abajo (es igual al contante más el producto escalar del $xy$ -partes, ya que $z$ -coordenadas son fijas). Por lo tanto, $\eta(u,w)$ crece mientras las otras dos distancias se mantienen, q.e.d.

Por supuesto, a efectos de escritura, el último paso es sólo una aplicación de Cauchy-Schwarz para el producto escalar en $\mathbb R^2$ .

Se trata de un plano hiperbólico bidimensional, en dimensiones superiores basta con insertar más coordenadas (en realidad no aparecerán en las fórmulas).

Answer 2

La desigualdad que queremos demostrar es $$ \left|\frac{u-v}{1-\overline{u}v}\right| \le \left|\frac{u-a}{1-\overline{u}a}\right| + \left|\frac{a-v}{1-\overline{a}v}\right| $$ para $u,v,a$ en el disco de la unidad abierta ${\mathbf D}$ . Sea $f$ sea el mapa $$ f(\zeta)=\frac{\zeta-a}{1-\overline{a}\zeta} \quad (\zeta \in {\mathbf D}). $$ Es fácil ver que $f$ mapas ${\mathbf D}$ en sí mismo. De hecho, si $\zeta,a \in {\mathbf D}$ entonces $(1-|\zeta|^2)(1-|a|^2)> 0$ se deduce que $|\zeta|^2+|a|^2 < 1+ |a|^2 |\zeta|^2$ y después de añadir $-\overline{a}\zeta-a\overline{\zeta}$ en ambos lados, obtenemos $ |\zeta-a|^2 < |1-\overline{a}\zeta|^2$ Es decir $f(z)=\frac{\zeta-a}{1-\overline{a}\zeta} \in {\mathbf D}$ . Un cálculo sencillo muestra que $$ \left|\frac{f(\zeta)-f(\xi)}{1-\overline{f(\zeta)}f(\xi)}\right| =\left|\frac{\zeta-\xi}{1-\overline{\zeta}\xi}\right|. $$ Así, en la desigualdad que queremos demostrar podemos sustituir $u,v,a$ por $f(u)=:z$ , $f(v)=:w$ , $f(a)=0$ respectivamente, y nos queda demostrar que $$ \left|\frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right| \le |z|+|w|, $$ es decir, $$ |z-w| \le |z|\,|1-\overline{z}w|+|w|\,|1-\overline{z}w| $$ para $z,w \in {\mathbf D}$ . Desde $|1-\overline{z}w|=|1-\overline{w}z|$ , esto equivale a la desigualdad $$ |z-w| \le |z-|z|^2 w|+|w-|w|^2z|. $$ Denote los puntos $z$ y $w$ en el plano complejo por $Z$ y $W$ y que $O$ denota el origen. El punto $|z|^2w$ es un punto $P$ en el segmento de línea entre $O$ y $W$ y $z-|z|^2w$ es el vector de $P$ a $Z$ . De ello se desprende que $|z-|z|^2w|$ es igual a la longitud (euclidiana) $|PZ|$ de el segmento de línea entre $P$ y $Z$ . Análogamente, $|w-|w|^2z|=|QW|$ para algún punto $Q$ en el segmento de línea entre $O$ y $Z$ . Sea $S$ sea el punto de intersección de los segmentos de línea $PZ$ y $QW$ . Entonces tenemos $$ |z-w| = |ZW| \le |ZS|+|SW| \le |PZ|+|QW| = |z-|z|^2 w|+|w-|w|^2z|, $$ que es lo que queríamos probar.