El orden del polinomio $f(x)$ es $7$ . Si $f(x)+1$ se puede dividir por $(x-1)^4$ y $f(x)-1$ se puede dividir por $(x+4)^4$ ¿podemos saber qué $f(x)$ ¿es?

Question

El orden del polinomio $f(x)$ es $7$ . Si $f(x)+1$ se puede dividir por $(x-1)^4$ y $f(x)-1$ se puede dividir por $(x+4)^4$ ¿podemos saber qué $f(x)$ ¿es?

Traté de dejar que $f(x)+1=h(x)\,(x-1)^4$ , $f(x)-1=g(x)\,(x+4)^4$ y supuestamente $$f(x)a_0+a_1x+\ldots+a_7x^7\,,$$ $$h(x=h_0+h_1x+h_2x^2+h_3x^3\,,$$ $$g(x=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3\,,$$ y utilizar la fórmula de Leibniz para calcular la derivada de todos los órdenes de $f(x)$ y obtengo ocho ecuaciones sobre los coeficientes de $f(x)$ , $h(x)$ y $g(x)$ . Parece que podemos resolver estas ecuaciones para obtener $f(x)$ pero esto es demasiado inconveniente. Quiero preguntar si hay una mejor manera de conseguir $f(x)$ .

Answer 1

Tenemos

(1) $f(x)=(x-1)^4g(x)-1$ y

(2) $f(x)=(x+4)^4h(x)+1$

con algún polinomio $g,h$ de grado $3$ .

Si diferenciamos la ecuación (1), vemos que $f'$ tiene en $1$ un cero de orden $3$ .

Si diferenciamos la ecuación (2), vemos que $f'$ tiene en $-4$ un cero de orden $3$ .

Así,

$f'(x)=a(x-1)^3(x+4)^3$ .

¿Puede continuar?