Clasificación de los automorfismos del espacio proyectivo

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, n un número entero positivo.

Notas de Vakil, 17.4.B: Demuestre que todos los automorfismos del esquema proyectivo $P_k^n$ corresponden a $(n+1)\times(n+1)$ matrices invertibles sobre k, modulo escalares.

Su insinuación es mostrar que $f^\star \mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}(1).$ (f es el automorfismo. No se si $\mathcal{O}(1)$ es la notación convencional; si no está claro, es una gavilla invertible sobre $P_k^n$ ) Puedo mostrar lo que quiere asumiendo esto, pero ¿puede alguien ayudarme a encontrar una forma limpia de mostrar esto?

Answer 1

Bueno, $f^*(\mathcal{O}(1))$ debe ser un haz de líneas en $\mathbb{P}^n$ . De hecho, $f^*$ da un automorfismo de grupo de $\text{Pic}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$ con el inverso $(f^{-1})^*$ . Así, $f^*(\mathcal{O}(1))$ debe ser un generador de $\text{Pic}(\mathbb{P}^n)$ , ya sea $\mathcal{O}(1)$ o $\mathcal{O}(-1)$ . Pero $f^*$ es también un automorfismo en el espacio de las secciones globales, de nuevo con la inversa $(f^{-1})^*$ . Desde $\mathcal{O}(1)$ tiene un $(n+1)$ -espacio vectorial de secciones globales, pero $\mathcal{O}(-1)$ no tiene secciones globales distintas de cero, es imposible que $f^*(\mathcal{O}(1))$ para ser $\mathcal{O}(-1)$ .

Answer 2

Un automorfismo de $\mathbb{P}^n_k$ induce un automorfismo del grupo de Picard $\text{Pic}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$ . Tal automorfismo debe enviar el generador $\mathcal{O}(1)$ a un generador. Dado que los dos únicos generadores de $\mathbb{Z}$ son $1$ y $-1$ , $f^*(\mathcal{O}(1))$ debe ser $\mathcal{O}(1)$ o $\mathcal{O}(-1)$ . Pero $\mathcal{O}(-1)$ no tiene secciones globales no nulas, por lo que no puede ser el pullback de $\mathcal{O}(1)$ (recordemos que $\mathcal{O}(1)$ se remonta a un haz de líneas junto con $n+1$ secciones globales que no tienen un cero común).