¿Por qué es $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)−\sin(\alpha)\sin(\beta)$ ?

Question

Ya he publicado una pregunta sobre las matrices de transformación y la rotación . Pero no estoy satisfecho con la respuesta.

Simplemente dijeron

La composición de funciones corresponde a la multiplicación de matrices.

Creo que entiendo el concepto, pero todavía estoy confundido por qué exactamente $$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\sin(\alpha)\sin(\beta)$$

¿Hay algún lema o fórmula que tenga que utilizar o simplemente se deriva de la distributividad de la multiplicación de matrices? No consigo entenderlo.

Answer 1

1. La rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\alpha$ es una transformación lineal con matriz $\left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)$

2. La rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\beta$ es una transformación lineal con matriz $\left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right)$

3. La rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\alpha+\beta$ es una transformación lineal con matriz $\left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$

4. La rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\alpha+\beta$ es la composición de la rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\alpha$ y la rotación de $\mathbb R^2$ a través del ángulo $\beta$ .

5. La matriz de la composición de dos transformaciones lineales es el producto de las matrices de estas transformaciones.

6. Así que $$ \left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)\cdot \left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$$

7. Así que, en particular, $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Answer 2

También se puede demostrar simplemente utilizando números complejos : $$ e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \times e^{i\beta} \Leftrightarrow \cos (a+b)+i \sin (a+b)=(\cos a+i \sin a) \times(\cos b+i \sin b) $$ Finalmente obtenemos, tras distribuir :

$$ \cos (a+b)+i \sin (a+b) =\cos a \cos b-\sin a \sin b+i(\sin a \cos b+\cos a \sin b) $$

Identificando las partes real e imaginaria obtenemos

$$ \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b $$ $$ \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b $$

Por supuesto que necesitas saber lo básico sobre los números complejos, pero si ya sabes todo esto, suele ser muy rápido demostrar la mayoría de estas engorrosas fórmulas trigonométricas con números complejos como lo que hice aquí.

Answer 3

Una matriz representa una transformación lineal. Cada una de sus columnas contiene las coordenadas de la base transformada. Para aplicarla a un vector, multiplica cada columna de la matriz por la coordenada correspondiente (coordenada x para la primera columna, etc.) y suma los resultados. Aplicar una matriz a otra matriz es aplicar la matriz de la izquierda a cada columna (vector base) de la matriz de la derecha. Esto se reduce a la regla de "multiplicar fila por columna".

Para ver que las columnas de la matriz forman una base transformada en el caso de una rotación, considere que la primera columna contiene las coordenadas $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$ de la $\mathbf i$ vector girado por $\alpha$ . La segunda columna es la primera columna girada por $\pi / 2$ . Por ejemplo, para un $\pi / 4$ rotación, su primera columna será $(1, 1)^T$ .

Linear algebra done wrong, de Sergei Treil, expone estos principios desde el principio.

Answer 4

También se puede demostrar mediante un simple lema:

Dejemos que $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ sea dos veces diferenciable, tal que $f''=-f$ . Entonces $f(x) = f(0)\cos x + f'(0) \sin x$ .

De hecho, si $g(x)= f(x) - f(0)\cos x - f'(0)\sin x$ entonces $g''=-g$ y $g(0)=g'(0)=0$ . Pero $(g'^2+g^2)' = 2 g'(g''+g) = 0$ Por lo tanto $g'^2+g^2$ es una constante, que es $0$ por su valor en $x=0$ . Por lo tanto, $g(x)=0$ en todas partes.

Aplicando esto a $f(x) = \cos(x+\beta)$ tenemos $f(0) = \cos\beta$ y $f'(0) = -\sin\beta$ Por lo tanto \begin{equation} \cos(x+\beta) = f(x) = \cos x\cos\beta - \sin x\sin\beta \end{equation}

En el caso de $h(x) = \sin(x+\beta)$ tenemos $h(0) = \sin\beta$ y $h'(0) = \cos\beta$ Por lo tanto \begin{equation} \sin(x+\beta) = h(x) = \cos x\sin\beta + \sin x\cos\beta \end{equation}

Answer 5

Al girar el círculo unitario en un ángulo de $b$ podemos ver que el punto $(cos(a-b),sin(a-b)$ mapas a $(cos(a),sin(a)))$ y el punto $(1,0)$ mapas a $(cos(b),sin(b))$ .

Como las rotaciones conservan las distancias, la distancia entre los puntos $(cos(a-b),sin(a-b))$ y $(1,0)$ es igual a la distancia entre los puntos $(cos(a),sin(a))$ y $(cos(b),sin(b))$ . La fórmula de la distancia da entonces:

$\sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sin(a-b)-0)^2}=\sqrt{(cos(a)-cos(b))^2+(sin(a)-sin(b))^2}$

Con mucho menos esfuerzo del que crees (y usando $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ tres veces), se llega a la identidad deseada