"Puente" entre las distribuciones uniforme y "masiva"

Question

Prólogo. La formulación original de este problema era inexacta; Chamomille y Didier Piau propusieron un ejemplo sencillo que no resolvería el problema en su formulación exacta. Perdón por la inexactitud. A continuación, una versión editada.

Mi objetivo es encontrar una familia X(a, b) de variables aleatorias (continuas) que dependan de dos parámetros no negativos a y b . La familia debe tener las siguientes propiedades:

(1) X(a, b) toma valores en el intervalo unitario [0, 1] para todo a, b;

(2) Para las variables aleatorias dependientes Y(a, b) definidas como 1/(a+b*X(a, b)) existen los valores esperados E[Y(a, b)];

(3) Cuando b/a es cercano a 0, la distribución de X(a, b) es cercana a la uniforme en [0, 1];

(4) Cuando a/b se acerca a 0, la distribución de X(a, b) se acerca a la distribución "en masa" (es decir, X(a, b) es igual a 1 con probabilidad 1).

Así que mi objetivo es encontrar una familia de variables aleatorias parametrizadas por a y b para "tender un puente" entre las distribuciones uniforme y "masiva".

He probado diferentes parametrizaciones pero no he podido encontrar una que satisfaga todas las condiciones (1)-(4).

Answer 1

Estas condiciones se cumplen si $X(a,b)\in[0,1]$ casi seguramente para cada $a$ y $b$ y si $X(a,b)\to1$ en probabilidad cuando $a\to0$ . Por lo tanto, $X(a,b)=1$ casi seguro que resuelve el problema. Si uno quiere evitar las masas de Dirac, $X(a,b)$ uniforme en $[1/(1+a),1]$ (o en cualquier intervalo $[c(a),1]$ con $c(a)$ en $[0,1)$ y $c(a)\to1$ cuando $a\to0$ ).

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Editar Se trata de responder a la versión editada de la pregunta. Una solución es considerar $X(a,b)$ uniforme en $[b/(a+b),1]$ o en cualquier intervalo $[k(a/b),1]$ donde la función $k(\ )$ es tal que $k(r)$ en $[0,1]$ por cada $r\ge0$ , $k(r)\to1$ cuando $r\to0$ y $k(r)\to0$ cuando $r\to+\infty$ por ejemplo $k(r)=1/(1+r)$ o $k(r)=\mathrm{e}^{-r}$ .

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Segunda edición Otra solución más, tal que el soporte de $X(a,b)$ es el intervalo completo $(0,1)$ por cada $(a,b)$ es asumir que $X(a,b)$ tiene densidad $c(b/a)x^{c(b/a)-1}$ para $x$ en $(0,1)$ donde la función $c(\ )$ es tal que $c(r)\to1$ cuando $r\to0$ y $c(r)\to0$ cuando $r\to+\infty$ . Una realización es $X(a,b)=U^{1/c(b/a)}$ con $U$ uniforme en $(0,1)$ por ejemplo $$ X(a,b)=U^{a/(b+a)}. $$