Existencia de medidas isometría-invariantes

Question

Una de las cosas maravillosas del desarrollo de la teoría de la medida es que los teoremas más importantes (principios de Littlewood, convergencia dominada, teorema de Fubini, etc.) pueden demostrarse en el contexto de un espacio de medida general. Las únicas propiedades adicionales que obtenemos de la medida de Lebesgue en $\mathbb R^n$ es el hecho de que es una medida de Borel y su invariancia bajo movimientos rígidos (isometrías). Inspirado en esto, me preguntaba qué condiciones habría que imponer a un espacio métrico para garantizar la existencia de una medida de Borel que sea invariante bajo isometrías. Es decir,

Resultado deseado: Si (X,d) es un espacio métrico que satisface la condición $(P)$ entonces existe una medida de Borel $\mu$ en $X$ que es invariante bajo isometrías, es decir, dada una isometría $T:X\to X$ , $$\mu(TB)=\mu(B)\textit{ for every Borel set }B\subset X$$

Un ejemplo claro de condición suficiente viene dado por el siguiente teorema:

Teorema: Dejemos que $(X,d)$ sea un grupo topológico métrico localmente compacto. Si $d$ es invariante a la izquierda, es decir $$\forall x,y,z\in X:d(zx,zy)=d(x,y)$$ entonces una medida de Haar invariante a la izquierda $\mu$ en $X$ es invariante bajo isometrías.

Para la demostración de este teorema, véase aquí: https://www.ams.org/journals/proc/1983-087-01/S0002-9939-1983-0677233-2/S0002-9939-1983-0677233-2.pdf (atención: es corto, pero complicado). Recordemos que esta condición es suficiente, gracias al teorema de Haar:

Teorema: Dejemos que $G$ sea un grupo topológico localmente compacto. Entonces existe una medida de Haar única (módulo de una constante multiplicativa) invariante a la izquierda $\mu$ en $G$ . Es decir, $\mu$ tiene la propiedad de que $$\mu(gA)=\mu(A)\text{ for every Borel set }A\subset G$$

Sin embargo, los grupos topológicos tienen un tipo de estructura de invariancia previa, a saber, la acción de los elementos del grupo. La construcción de la medida de Haar explota esto utilizando el número de cobertura $$(A:B)=\inf\{k:\exists x_1,\dots,x_k\in X,A\subset\cup_{i=1}^kx_iB\}$$ (para $A,B\subset X$ ) que da una medida suficiente (juego de palabras) del tamaño relativo.

Todavía no he encontrado otras referencias que demuestren la existencia de tales medidas en una clase más amplia de espacios. Sospecho que la noción de "tamaño relativo" dada por la acción del grupo podría ser totalmente integral para la construcción de una medida, ¡pero me encantaría sorprenderme!

¿Puede alguien proporcionarme una referencia de otras pruebas de existencia de este tipo? O mejor, ¿alguien conoce una generalización del teorema anterior?

Answer 1

No lo he mirado en detalle pero el libro de Fremlin tiene una sección que cubre exactamente lo que quieres. Puedes encontrarlo en el sitio web del autor .

Me limitaré a esbozar algunas de las ideas aquí y me remitiré al libro de Fremlin para los detalles. En la sección 441.B el autor discute un teorema de Steinlage que es una generalización de la existencia de las medidas de Haar:

Teorema (Steinlage [1]): Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto y $G$ un grupo que actúa sobre $X$ . Supongamos que

1. el mapa $x \mapsto a \cdot x$ es continua para cada $a\in G$ ;
2. cada órbita $\{ a\cdot x : a \in G \}$ es denso;
3. siempre que $K$ y $L$ son subconjuntos compactos disjuntos de $X$ existe un subconjunto abierto no vacío $U \subset X$ tal que, para cada $a \in G$ como máximo uno de $K$ o $L$ se encuentra con $a \cdot U$ ,

entonces hay un $G$ -medida de Radon invariante $\mu$ en $X$ .

Tomando la acción de $G$ sobre sí mismo mediante traslaciones izquierda/derecha, este teorema da la existencia de medidas de Haar. La idea de la demostración es la misma que la demostración habitual de la existencia de las medidas de Haar. En primer lugar, para un conjunto compacto $K \subset X$ y un conjunto abierto $U \subset X$ se define la relación $[K:U]$ que es el número mínimo de traducciones de $U$ necesario para cubrir $K$ . Entonces, para un conjunto compacto de referencia fijo $K_0$ con interior no vacío se define la siguiente función sobre subconjuntos compactos de $X$ :

\begin{equation} \lambda_U( K) = \frac{[K :U]}{[K_0 : U]}. \end{equation} Esto es subaditivo pero no aditivo en general. Para obtener una función aditiva se toma algún tipo de límite sobre los conjuntos abiertos $U$ (aquí hay muchos detalles que rellenar, por supuesto). A continuación, se amplía la función a una medida exterior en $X$ por la construcción habitual de sup/inf, y finalmente tomar la restricción de esta medida exterior al álgebra sigma de Borel.

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Volviendo a tu pregunta, en la sección 441.H Fremlin demuestra que el teorema anterior implica lo siguiente:

Teorema: Dejemos que $X$ sea un espacio métrico localmente compacto con grupo de isometría $G$ . Entonces hay un $G$ -medida de Radon invariante en $X$ .

Lo único sutil que hay que comprobar aquí es la condición 2 del teorema de Steinlage. No hay ninguna posibilidad de que se cumpla en general para la acción completa de $G$ en $X$ . Así que, en su lugar, limitémonos al cierre de la órbita de un solo punto $x_0$ que llamamos $Z$ y mira la acción del grupo de isometría $H$ de $Z$ . Para un $z \in Z$ tenemos que demostrar que su órbita bajo $H$ es denso en $Z$ . Así que dejemos $y$ sea un punto arbitrario en $Z$ . Entonces hay una secuencia $(g_n)$ en $G$ tal que $g_n x_0 \to y$ . También hay una secuencia $(h_n)$ en $H$ tal que $h_n x_0 \to z$ . Ahora ya que la métrica es $G$ -invariante Esto implica que $g_n h_n^{-1} z \to y$ . En efecto, \begin{align} d(g_n h_n^{-1} z, y) &\leq d(g_n h_n^{-1} z, g_n x_0) + d(g_n x_0, y) \\ &= d(h_n^{-1} z, x_0) + d(g_n x_0, y) \\ &= d(z, h_n x_0) + d(g_n x_0, y), \end{align} que va a $0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, $y$ está en el cierre de la órbita de $z$ y esto demuestra que el $H$ -La órbita de cualquier punto es densa en $Z$ .

Aplicando el teorema de Steinlage obtenemos un $H$ -medida invariable $\nu$ en $Z$ . Para obtener un $G$ -medida invariante en $X$ definimos $\mu(E) = \nu(E \cap Z)$

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[1] Steinlage, R. C. On Haar measure in locally compact T2 spaces. Amer. J. Math. 97 (1975), 291-307. Disponible aquí .