Cómo evaluar $\int^{+\infty}_0 e^{−ax^2}\cos(bx)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}e^{−b^2/4a}$

Question

Llevo unas horas con esto y es espantosamente parecido al problema expuesto aquí:

Cómo probar $\int_0^\infty e^{-x^2}cos(2bx) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-b^2}$

pero con suficientes cambios que siguen siendo problemáticos. Además, ¡algunas partes de la solución se me han escapado de las manos! He tratado de diferenciar con b y encontrar un u-sub inteligente en vano. También tengo curiosidad por usar la identidad de Euler para intercambiar el cos por algunos exponenciales, pero también sigo chocando con un muro. La ayuda en cualquiera de los dos frentes sería genial.

Edición: a>0 y b>0 son constantes arbitrarias sólo para ser completo sobre esto.

Actualización: Resuelto gracias a la solución de voldemort y a la solución de ecuaciones diferenciales del problema enlazado, ¡gracias a todos!

Answer 1

En su integral, $a$ es presumiblemente positivo, de lo contrario no tendríamos convergencia.

Hacer el cambio de variable $t=x\sqrt{a}$ y estarás en una integral muy cercana a la enlazada.

Answer 2

Sólo tienes que sustituir $u^2=ax^2$ y utilizar el resultado de la integración anterior.

Por lo tanto, debemos tener $a >0$ (problemas de convergencia), y por lo tanto, $u=\sqrt a x$ y $du=\sqrt a dx$ .

Después de esta sustitución, su integrando se convierte en $\frac{1}{\sqrt a} (e^{-u^2}\cos(\frac{b}{\sqrt a}u) du)$ y esta es justo la integral que enlazaste, con $\frac{b}{\sqrt a}$ en lugar de $2b$ .

Recuerda que $x,u,b$ etc. son sólo "variables".

La integral anterior es también la misma que $\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}\cos(b_1y)dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b_1^2/4}$ - esperamos que sea más fácil hacer la conexión ahora, tomando $b_1=\frac{b}{\sqrt a}$ .