Sobre la convergencia del WOT

Question

Dejemos que $H$ Espacio de Hilbert. $\{A_n\}_{n\ge0}$ una secuencia en $B(H)$ tal que la secuencia $\{\langle A_nx,y\rangle\}_{n\ge0}$ converge para todo $x,y\in H$ .

¿Podemos demostrar que existe $A\in B(H)$ tal que $$\lim_{n \to \infty}\langle A_nx,y\rangle=\langle Ax,y\rangle$$ para todos $x,y\in H$ .

Supongo que se puede usar Principio de límite uniforme pero no pudo encontrar un argumento concreto.

Esta pregunta está motivada por el hecho (se puede demostrar utilizando el Principio de Acotamiento Uniforme)- Si $\{A_n\}_{n\ge0}$ una secuencia en $B(H)$ tal que la secuencia $\{ A_nx\}_{n\ge0}$ converge para todo $x\in H$ entonces existe $A\in B(H)$ tal que $$\lim_{n \to \infty}A_nx= Ax$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Definir $\sigma:H\times H\to\mathbb{C}$ al establecer $$\sigma(x,y):=\lim_{n\to\infty}\langle A_nx,y\rangle$$

Este es un mapa bien definido y se puede ver fácilmente que es lineal en el primer argumento y lineal conjugado en el segundo. Además, nótese que $\{\|A_n\|\}_{n=1}^\infty\subset[0,\infty)$ es una secuencia acotada: Puedes encontrar una prueba de este resultado (utilizando el principio de acotación uniforme) aquí .

Así que ahora existe $M>0$ tal que $|\sigma(x,y)|\leq M\cdot\|x\|\cdot\|y\|$ para todos $x,y\in H$ . Esto demuestra que existe un operador acotado $A\in B(H)$ para que $\sigma(x,y)=\langle Ax,y\rangle$ como se puede deducir de este teorema .