Continuo $f:[x_1,x_2]\to\mathbb{R}$ no es "1-1" si hay máximos locales en los extremos del intervalo

Question

Dejemos que $f:[x_1,x_2]\to\mathbb{R}$ sea una función continua tal que $f$ tiene un máximo local en $x_1$ y en $x_2$ . Demostrar que $f$ no es "1-1".

He pensado en utilizar la EVT, pero parece que no puedo probar que $f$ no puede ser "1-1". Sin embargo, es seguro que hay que recurrir a la reductio ad absurdum.

Answer 1

Supongamos con pérdida de generalidad que $f(x_1)>f(x_2)$ .

Supongamos que $f$ era inyectiva.

Desde $x_2$ es un máximo local, existe al menos un $x_1<x_3<x_2$ tal que $f(x_3)\leq f(x_2)$ .

• Si $f(x_3)=f(x_2)$ Esto es una contradicción, ya que $x_3<x_2$ .
• Si $f(x_3)<f(x_2)<f(x_1)$ El teorema del valor intermedio en $[x_1, x_3]$ implica que existe al menos un $x_4\in (x_1, x_3)$ tal que $f(x_4)=f(x_2)$ lo cual es de nuevo una contradicción, ya que $x_4<x_3<x_2$ .

Answer 2

Desde $f$ tiene un máximo local en ambos $x_1,x_2$ así que $\exists \delta_1,\delta_2>0$ tal que $f(x_1)>f(x)\forall x\in [x_1,x_1+\delta) $ y $f(x_2)>f(x)\forall x\in (x_2-\delta ,x_2] $ .

Así que $f(x)$ primero disminuye y luego aumenta.

Gráficamente: El gráfico de $f $ primero disminuye hasta alcanzar un valor mínimo y luego vuelve a aumentar hasta alcanzar su valor máximo local. (Nótese que alcanza el valor mínimo debido a su continuidad).

Así que deben existir dos puntos $x_1<a<b<x_2$ tal que $f(a)=f(b). $