Evaluar una expresión grande.

Question

Si: $$\lambda=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^3} ;$$

A continuación, evalúe : $$ p=\lim_{n \rightarrow \infty}\left( \frac{\prod_{r=1}^{n}\left(n^3+r^3\right)}{n^{3n}} \right)^{1/n} ;$$

EDIT: Ahora he terminado hasta $$lnp=\int_{0}^{1} \ln(1+t^3).dt$$

Ahora, tenemos que evaluar esto usando $\lambda$ , sea como sea.

Answer 1

En primer lugar, para evaluar $\lambda$ Utiliza las fracciones parciales:

$$\frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{3} \left ( \frac{1}{1+x} - \frac{x-2}{x^2-x+1} \right )$$

El segundo fragmento del paréntesis es más fácil de integrar si se expresa como sigue:

$$\frac{x-2}{x^2-x+1} = \frac{x-1/2}{(x-1/2)^2+3/4} - \frac{3/2}{(x-1/2)^2+3/4}$$

Ahora, dejemos que

$$A = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \log{2}$$

$$B = \int_0^1 dx \: \frac{x-1/2}{(x-1/2)^2+3/4} = \left[\log{\left[ \left( x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\right]_0^1 = 0$$

$$C = \int_0^1 dx \: \frac{3/2}{(x-1/2)^2+3/4} = \sqrt{3} \left[\arctan{\left [ \frac{2}{\sqrt{3}} \left( x-\frac{1}{2}\right)\right]}\right]_0^1 = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$$

Por lo tanto,

$$\lambda = \frac{1}{3} (A - B + C) = \frac{1}{3} \log{2} + \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$$

Ahora el límite, que se evalúa tomando los logaritmos de ambos lados:

$$\log{p} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n \log{\left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)}$$

Se trata de una suma de Riemann, en el sentido de que

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n f \left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 dx \: f(x)$$

Por lo tanto,

$$\begin{align}\log{p} &= \int_0^1 dx \: \log{(1+x^3)}\\ &= [x \log{(1+x^3)}]_0^1 - \int_0^1 dx \: \frac{3 x^3}{1+x^3}\\ &= \log{2} - 3 \int_0^1 dx \: \left ( 1 - \frac{1}{1+x^3}\right)\\ &= \log{2}-3 + 3 \lambda\\&= 2 \log{2}-3 + \frac{\pi}{\sqrt{3}}\\ \therefore p &= 4 e^{-(3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}})}\end{align}$$

Answer 2

Sugerencia: Toma el logaritmo de la segunda expresión

Obtendrá una expresión de la suma de Riemann que podrá utilizar su valor de $\lambda$ para resolver.