En particular, me han dicho si $k$ es conmutativo (anillo), $R$ y $S$ son comutativo $k$-álgebras tal que $R$ es noetheriano, y $S$ es un finito generado $k$-álgebra, entonces el tensor producto $R\otimes_k S$ $R$ $S$ $k$ es un anillo noetheriano.
Respuestas
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Incluso para los campos de esta falla dramáticamente. Por ejemplo supongamos que $K=F((x_i)_{i \in B})$ es una función de campo. Al $B$ es finito, entonces $K \otimes_F K$ es una localización de $F[(x_i)_{i \in B}, (x'_i)_{i \in B}]$, por lo tanto noetherian. Supongamos ahora que $B$ es infinito. A continuación, $\Omega^1_{K/F}$ tiene dimensión $|B|$. Ya que es isomorfo a $I/I^2$ donde $I$ es el núcleo de la multiplicación de mapa de $K \otimes_F K \to K, x \otimes y \mapsto x \cdot y$, se deduce que el $I$ no es finitely generado, por lo tanto $K \otimes_F K$ no es noetherian.
El caso general tratada en el siguiente artículo:
P. Vámos, En el mínimo primer ideales de un producto tensor de dos campos, Matemática Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 84 (1978), pp 25-35
He aquí una selección de algunos de los resultados de ese papel: Vamos a $K,L$ ser extensiones de un campo de $F$.
- Si $K$ es un finitely campo generado extensión de $F$, $K \otimes_F L$ es noetherian.
- Si $K,L \subseteq F^{\mathrm{alg}}$ son separables extensiones algebraicas de $F$, e $L$ es normal, a continuación, $K \otimes_F L$ es noetherian iff $K \otimes_F L$ es un producto finito de campos iff $[K \cap L : F] < \infty$.
- Si hay una extensión de $M$ $F$ que se encuentra dentro de $K$$L$, que tiene un estricto orden ascendente de la cadena de intermedio campos, a continuación, $K \otimes_F L$ no es noetherian.
- Si $K \otimes_F L$ es noetherian, a continuación,$\min(\mathrm{tr.deg}_F(K),\mathrm{tr.deg}_F(L)) < \infty$.
- $K \otimes_F K$ es noetherian si el ascendente de la cadena de condición tiene por intermedio de los campos de $K/F$ fib $K$ es un finitely campo generado extensión de $F$.
Pawel
Puntos
28
Si $S$ finito se genera como una $k$-álgebra, podemos escribir $S\cong k[x_1,\ldots,x_n]/I$ $n\in\mathbb{N}$ y algún ideal $I$. Sigue eso $$ R\otimes_kS\cong R\otimes_k (k [x_1, \ldots, x_n] /I) \cong R [x_1, \ldots, x_n] /I $$ $R$ es noetheriano, sigue de Teorema de la base de Hilbert que $R[x_1,\ldots,x_n]$ es noetheriano. Por último, imágenes homomórficas de anillos noetheriano son noetheriano, por lo que $R[x_1,\ldots,x_n]/I$ es noetheriano.
