Se puede simplificar un poco. Tenga en cuenta que si $X_m$ es conocida, entonces considera la transformación $Y = X/X_m$ Por lo tanto $Y$ es Pareto con forma $\alpha$ y ubicación $1$ con densidad $f_Y(y) = \alpha y^{-(\alpha+1)} \mathbb 1 (y \ge 1)$ . Entonces la muestra transformada es simplemente $$\boldsymbol Y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) = \boldsymbol X/X_m = (x_1/X_m, x_2/X_m, \ldots, x_n/X_m).$$ Por tanto, a efectos de estimación y eficiencia, podemos trabajar con $\boldsymbol Y$ o, en su defecto, suponer $X_m = 1$ porque esta transformación es uno a uno.
Dicho esto, la eficiencia de un estimador $w(\theta)$ de $\theta$ se define como $$\mathcal E(w(\theta)) = \frac{1/\mathcal I(\theta)}{\operatorname{Var}[w(\theta)]},$$ donde $\mathcal I(\theta)$ es la información de Fisher. Así que hay que calcular la varianza de cada estimador.
Dejo como ejercicio mostrar que para su distribución, la información de Fisher es: $$\mathcal I(\alpha) = \frac{n}{\alpha^2}. \tag{1}$$ La varianza exacta de la MLE es: $$\operatorname{Var}[\hat \alpha] = \frac{(n \alpha)^2}{(n-1)^2 (n-2)}, \quad n > 2, \alpha > 1. \tag{2}$$ La varianza asintótica del estimador del método de los momentos mediante el CLT y el método delta es: $$\operatorname{Var}[\tilde \alpha] = \frac{\alpha (\alpha-1)^2 ((n-1)\alpha - 2n)}{n^2 (\alpha-2)^2}. \tag{3}$$
