integración para la fórmula de la radiancia espectral

Question

Tengo la siguiente fórmula:

$$ L_{\lambda} = \frac{2c^{2}h}{\lambda^{5}\left( \exp\left( \frac{hc}{\lambda kT} \right)-1 \right)}$$

que se utiliza para calcular la radiancia espectral (véase aquí ).

Tengo una función de matlab para calcular la radiancia espectral en todas las longitudes de onda:

function b6000 = myfun(lambda) 

h = 6.626e-34; % Planck's Constant
c = 3e8; % speed of light
T = 6000;
k = 1.38066e-23; % Boltzmann constant in J/K

% spectral radiance
p = 2*h*c*c./(lambda.^5);
b6000 = p./(exp((h*c)./(lambda*k*T))-1);
b6000 = (1e-9).*b6000;

% multiply by the square of the ratio of the solar radius of earth's
% orbital radius
b6000 = b6000.*(2.177e-5);

% apply Lambert's cosine law
b6000 = b6000.*pi;

donde toda el área bajo la curva de radiancia espetral puede calcularse mediante:

integral(@myfun,0,inf)

que da una respuesta de

1.5977e-06

que está en las unidades equivocadas para tener algún sentido, pero es la respuesta correcta.

Estoy intentando calcular esto a mano, pero me cuesta saber por dónde empezar.

$$ L_{\lambda} = \int_{0}^{\inf} \frac{2c^{2}h}{\lambda^{5}\left( \exp\left( \frac{hc}{\lambda kT} \right)-1 \right)} d\lambda$$

No conozco ningún método que pueda utilizarse para integrar esto. Sin embargo, no soy matemático, así que lo más probable es que haya una forma sensata de hacerlo. ¿Puede alguien indicarme algo?

Answer 1

Básicamente puede utilizar Cuadratura gaussiana . O el comando "quad" en Matlab.

Answer 2

Básicamente la integral es (ignorando los términos constantes) $$I=\int_0^{\infty} \frac{d\lambda}{\lambda^5 \left(\exp\left(\frac{a}{\lambda}\right)-1\right)}$$ donde $a=\dfrac{hc}{kT}$ . Sustituir $t=a/\lambda \Rightarrow d\lambda=-a\,dt/t^2$ para obtener la integral: $$I=\frac{1}{a^4}\int_0^{\infty} \frac{t^3}{e^t-1}\,dt=\frac{1}{a^4}\int_0^{\infty} \frac{t^3e^{-t}}{1-e^{-t}}\,dt$$ A continuación, utilice la expansión de la serie $\displaystyle \frac{1}{1-e^{-t}}=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-kt}$ para reescribir la integral como $$I=\frac{1}{a^4}\sum_{k=0}^{\infty} \int_0^{\infty} t^3e^{-(k+1)t}\,dt$$ Utilice la sustitución $(k+1)t=x$ , $$\Rightarrow I=\frac{1}{a^4}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^4}\int_0^{\infty}x^3e^{-x}=\frac{1}{a^4}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^4}\Gamma(4)=\frac{3!}{a^4}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^4}$$ $$\Rightarrow I=\frac{6}{a^4}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4}\frac{6}{a^4}\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{15a^4}$$ Por lo tanto, la respuesta final es: $$2hc^2I=2hc^2\frac{\pi^4}{15}\frac{k^4T^4}{h^4c^4}=\boxed{\dfrac{2\pi^4k^4}{15h^3c^2}T^4}$$