Cómo encontrar el máximo local de la función $f(x) = x^3-9x^2+24x+4$ ?

Question

Indique el valor de x en el que la función

$f(x) = x^3-9x^2+24x+4$

tiene un máximo local.

a) -4

b) 4

c) 2

d) 3

e) -2

Lo grafiqué y no estoy seguro de cómo encontrar el máximo local

Answer 1

$$f'(x)=3x^2-18x+24$$

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=2 \text{ or } x=4$$

$$f'(x)>0 , \ \forall x \in (-\infty,2], \text{ so f is increasing on this interval.}$$

$$f'(x)<0 , \ \forall x \in [2,4], \text{ so f is decreasing on this interval.}$$

$$f'(x)>0 , \ \forall x \in [4,+\infty), \text{ so f is increasing on this interval.}$$

Así, vemos que $f$ alcanza su máximo local en $x=2$ y el máximo local es igual a $f(2)$

Answer 2

$$\begin{align}f(x)&=x^3-9x^2+24x+4\\f'(x)&=3x^2-18x+24\\\text{Min/max is at }f'(x)&=0 \text{ (slope is 0)}\\0&=3x^2-18x+24=(x-2)(x-4)\\x&=2\text{ or }4\\\text{Maximum is when }f''(x)&<0\text{ (the slope goes from really positive to negative)}\\f''(x)&=6x-18\\f''(2)&=-6<0 \text{ (maximum!)}\\f''(4)&=6 > 0\text{ (minimum)}\end{align}$$

$x=2$ , C