¿Cómo se añaden los términos de acoplamiento de la materia al lagrangiano linealizado de la relatividad general?

Question

En Espacio-tiempo y geometría El Dr. Carroll proporciona una lagrangiana para las ecuaciones de Einstein en el vacío asumiendo que la métrica puede escribirse en la forma $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ . El Lagrangiano es, como referencia, $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left[\left(\partial_\alpha h^{\alpha\beta}\right)\left(\partial_{\beta}h\right)-\left(\partial_\alpha h^{\rho\sigma}\right)\left(\partial_{\rho}h^{\alpha}_{\;\,\sigma}\right)+\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\left(\partial_\alpha h^{\rho\sigma}\right)\left(\partial_\beta h_{\rho\sigma}\right)-\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\left(\partial_\alpha h\right)\left(\partial_\beta h\right)\right]$$

Esto, como se puede comprobar, produce el tensor de Einstein cuando se varía. Ahora, más adelante, el Dr. Carroll señala que al tratar $h_{\mu\nu}$ como un campo que se propaga sobre el espaciotiempo de Minkowski, añadiendo el acoplamiento a la materia en el Lagrangiano, y requiriendo que se acople a su propio tensor energía-momento/materia tensor energía-momento, se restablece la Relatividad General.

La parte que me confunde es la siguiente: ¿cómo se añade el acoplamiento a la materia en el Lagrangiano? Supongo que se construye a partir de factores de $h_{\mu\nu}$ y no su derivado, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

La densidad lagrangiana estándar de Pauli-Fierz del campo de espín 2 $h_{\mu\nu}$ es sólo el $[...]$ término, sin el $1/2$ delante. El acoplamiento esperado a la materia $\mathcal{L}_{\text{int}} \sim h_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$ es "adivinado" por Feynman en sus apuntes de conferencias sobre la gravitación (Conferencia 3, página 42, Ed. de 1995).

Kraichnan (Special-Relativistic Derivation of Generally Covariant Gravitation Theory (Physical Review, Volume 98, Issue 4, 1955)), y Gupta (Gravitation and Electromagnetism (Physical Review, Volume 96, Issue 6, 1954)) también pusieron esto "a mano" en sus artículos. Tampoco encontré una prueba directa en ninguno de los artículos de Deser y Wald sobre la gravedad.

La única prueba sólida de este acoplamiento lineal que conozco está dada por Boulanger et al. en una configuración cohomológica perturbadora de la BRST lagrangiana en Nucl.Phys. B597 (2001) 127-171 para un campo escalar (sección 9 del proyecto arxiv). Por supuesto, allí se infiere una generalidad completa del acoplamiento de la materia en ausencia de invariancia gauge propia, pero se expone, por ejemplo, después de 20 páginas de cálculos tediosos al final de la sección 4 en el JHEP0502:016,2005 . Cito como referencia a la fórmula (104): <<Así, el acoplamiento entre un campo de Dirac y un gravitón en el primer orden del parámetro de deformación toma la forma $\Theta ^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ No podemos insistir lo suficiente en que no es una suposición, sino que se desprende por completo del enfoque de la deformación desarrollado aquí>>.