Modelo de estado-espacio con efectos contemporáneos

Question

Tengo el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \begin{align} y_t^{(1)}&=y_t^{(2)}-x_t+\epsilon_t\\ y_t^{(2)}&=x_t+\nu_t\\ x_t&=\alpha x_{t-1}+u_t \end{align} $$ donde $y_t^{(1)}, y_t^{(2)}$ se observan y $x_t$  no lo es.

Tengo algunos problemas para poner esto en la formulación del espacio de estados. El problema que tengo es que para conseguir $y_t^{(2)}$ en la ecuación (de medición) para $y_t^{(1)}$ Tengo que ponerlo en el vector del estado. Pero necesito $y_t^{(2)}$ en la ecuación de medición para obtener $x_t$ ahí dentro. Entonces, ¿qué hago con $y_t^{(2)}$ en el vector de estado? ¿Puedo simplemente omitir esa fila en la ecuación de estado? Eso me daría:

$$ \begin{align} \begin{pmatrix}y_t^{(1)}\\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_t \\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix}\\ x_t&=\begin{pmatrix}\alpha & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{t-1} \\ y_{t-1}^{(2)}\end{pmatrix}+u_t. \end{align} $$

Answer 1

Sustituya la segunda ecuación en la primera y tendrá \begin{align} y_t^{(1)}&=y_t^{(2)}-x_t+\epsilon_t\\ &=x_t+\nu_t-x_t+\epsilon_t\\ &=\nu_t+\epsilon_t. \end{align} Así que es \begin{align} \begin{pmatrix}y_t^{(1)}\\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\nd{pmatrix}x_t+ \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix} \\ x_t&=\Nalpha x_{t-1}+u_t. \fin{align} Otra forma de verlo es reescribir las ecuaciones de medición como \begin{align} y_t^{(1)}-y_t^{(2)}&=-x_t+\epsilon_t\\ y_t^{(2)}&=x_t+\nu_t, \end{align} lo que equivale a $$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_t^{(1)}\\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}x_t+\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix}.$$ Para aislar los observables del lado izquierdo, hay que tener en cuenta que $$\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.$$ Multiplique ambos lados por eso y obtendrá \begin{align} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_t^{(1)} \\ y_t^(2)}end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}x_t+\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix} [derecha]\N - [derecha]\N - [derecha]\N - [derecha] \begin{pmatrix}y_t^{(1)}\\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\nd{pmatrix}x_t+ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}y_t^{(1)}\\ y_t^{(2)}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\nd{pmatrix}x_t+ \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\epsilon_t\\\nu_t\end{pmatrix}. \end{align}