Dejemos que $X$ sea un esquema noetheriano, regular e integral con campo de funciones $K$ . Además, dejemos que $L$ sea una gavilla invertible en $X$ . Tome una sección racional no nula $s\in \Gamma(L\otimes_{\mathcal O_X} K)$ y, a continuación, en cada punto $x\in X$ podemos escribir $s_x=f_xe_x$ para $f_x\in K$ y $e_x\in L$ . En otras palabras, hemos elegido una base local $\{e_x\}_{x\in X}$ para $L$ .-
Si $x$ es un punto de codimensión $1$ tenemos una valoración discreta sobre $K$ asociado a $x$ y lo denotamos simplemente por $v_x$ . Ahora podemos poner:
$$\operatorname{ord}_x(s):=v_x(f_x)$$
Es fácil demostrar que $\operatorname{ord}_x(s)$ no depende de la base local elegida, sino que
No entiendo por qué $\operatorname{ord}_x(s)=0$ para todos los casos excepto para un número finito de puntos de codimensión $1$ .
¿Puede explicarlo, por favor?
Editar: Equivalentemente una sección racional $s$ puede verse como un elemento no nulo de $L_{\eta}$ donde $\eta$ es el punto genérico de $X$ . Es evidente que para cualquier $x\neq \eta$ tenemos $L_\eta=L_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}} K$ . El problema sigue ahí. No entiendo por qué el orden es cero en casi todas partes.
