Bueno, pero ¿qué pasa si $g$ no genera todo el grupo?
Lo que no está a priori claro es si lo que da como la partición de $G$ en dos conjuntos está efectivamente bien definida. En efecto, se le pidió que demostrara que existe de hecho tal partición que está bien definida. Por supuesto, NO habría una partición bien definida si $g$ tenía la orden de impar.
Esto es lo que yo haría ahora: Primera partición $G$ en conjuntos de derecho $X_1,X_2, \ldots X_r$ de $\langle g \rangle$ es decir, para cada $j$ hay un $x_j \in G$ tal que $X_j =\{g^ix_j; $ $i \in \mathbb{Z}\}$ [arreglar tal $x_j$ para cada $j=1,2,\ldots, r$ ]. Siguiente parición $G$ en dos conjuntos $G_1$ y $G_2$ de la siguiente manera:
(A) Para cada $y \in X_j$ , escriba $y=g^ix_j$ para algún número entero $i$ , donde $x_j$ es como se ha especificado anteriormente, y $i$ es un entero no negativo no mayor que ord $(g)-1$ . Obsérvese que hay exactamente una forma de representar cada $y \in G$ como en el caso anterior. Ahora escribiendo $y=g^ix_j$ como en el caso anterior, dejemos que exp $(y)$ sea el número entero $i$ . Entonces si exp $(y)$ es impar entonces poner $y$ en $G_1$ y si exp $(y)$ es incluso entonces poner $y$ en $G_2$ . Como hay exactamente una forma de escribir cada $y \in G$ como en el caso anterior, esta partición de $G$ en $G_1$ y $G_2$ está bien definida.
[Así que lo que he dicho arriba creo que es a lo que querías llegar, pero lo que hacía falta era que tuvieras cuidado de especificar la partición con precisión].
Así que ahora basta con demostrar que $y \in G_1 \Leftrightarrow gy \in G_2$ para cada $y \in G$ Para ello, escribe $y=g^ix_j$ como se ha especificado anteriormente. Entonces exp $(g)=i$ y $gy=g^{i+1}x_j$ si $i < $ ord $(g)-1$ y $g(y)=y^0x_j$ si $i=$ ord $(g)-1$ . Así que exp $(gy) = $ exp $(y)+1$ si exp $(y) < $ ord $(g)-1$ y exp $(gy)= 0$ si exp $(y)=$ ord $(g)-1$ . Pero entonces como orden $(g)$ es par se deduce que exp $(gy)$ es par si exp $(y)$ es impar, y así $gy$ debe ser puesto en $G_2$ si $y$ se pone en $G_1$ por (A) anterior.
Si está familiarizado con Grafos de Cayley entonces el grafo de Cayley donde los vértices son elementos de $G$ y donde $x$ y $y$ forman una arista si $y \in \{gx, g^{-1}x\}$ es una colección de ciclos disjuntos de vértices de longitud ord $(g)$ [si ord $(g) \ge 3$ ], o es una coincidencia perfecta [si ord $(g)=2$ ]. Este grafo es bipartito si ord $(g)$ es par. Entonces una coloración propia-2 de este grafo corresponde a una coloración donde $x$ y $gx$ se dan diferentes colores para cada $x \in G$ . Tal coloración propia de 2 existe si ord( $g$ ) es par, como ya hemos observado, este grafo es entonces bipartito.
