¿Cómo y cuándo asumir correctamente WLOG?

Question

Demuestra que $$x^{2013}y+xy^{2013} \leqslant x^{2014}+y^{2014}$$

Sé que esto parece ser sólo una aplicación de la desigualdad de reordenamiento, lo que quería preguntar es que qué significa realmente cuando en este caso se podría decir que "por simetría" podemos suponer $x \leqslant y$ o "WLOG" $x \leqslant y$ ? Esto siempre me desconcierta un poco.

Answer 1

$x$ y $y$ son sólo los nombres de las variables que juegan un papel simétrico aquí. Si cambias sus nombres, obtienes exactamente el mismo ejercicio (intenta escribir $x$ en lugar de cada $y$ y viceversa, y luego arreglar). Así, en la solución, siempre se puede asumir $x$ es el más pequeño, porque si no es el caso, toda la prueba y el ejercicio se pueden reescribir de manera que $x$ será el nombre del más pequeño.

Answer 2

Dejemos que $P(x,y)$ denotan la afirmación de que la desigualdad se cumple para $(x,y)$ .

Entonces, para todos los $x,y$ , $P(x,y)\iff P(y,x)$ .

Así que si pruebas $P(x,y)$ para todos $x,y$ tal que $x\leq y$ También se obtiene $P(y,x)$ para esos mismos $x,y$ 's.

Pero ahora $x,y$ son sólo nombres de variables, por lo que también se podría decir que obtenemos $P(x,y)$ siempre que $y\leq x$ . Ha, pero ahora sabemos $P(x,y)$ se mantiene si $x\leq y$ y se cumple si $y\leq x$ .

Por lo tanto, se mantiene sin importar qué.

"Para demostrar que para todos $x$ , $P(x)$ se mantiene, podemos wlog suponer que $Q(x)$ se mantiene" en general significa que "para todos $x$ , $P(x)$ " es fácilmente deducible de "para todos $x$ tal que $Q(x)$ se mantiene, $P(x)$ también se mantiene".

Tenga en cuenta que esto contiene cierta cantidad de subjetividad ("fácilmente") y, por lo tanto, que las declaraciones de "wlog" sean relevantes/válidas dependerá de con quién esté hablando.

Por ejemplo, imagine que intenta demostrar el último teorema de Fermat "si $n\geq 3$ y $xyz >1$ entonces $x^n+y^n\neq z^n$ ". Entonces, a alguien que tenga cierta experiencia con la teoría de los números, se le podría decir "asume wlog que $n=4$ o es un primo de impar".

Pero, por supuesto, debería exigirse una prueba real para demostrar que esto es suficiente : "wlog" sólo significa "Esta prueba adicional debería ser fácil para usted".

Answer 3

Para añadir algún detalle más concreto para este caso específico a las finas respuestas dadas, supongamos $x\le y$ et

$$x^{2013}y+xy^{2013} \leqslant x^{2014}+y^{2014}$$

ahora si $y\le x$ por $\bar x=y$ y $\bar y=x$ es decir $\bar x\le \bar y$ obtenemos

$$\bar y^{2013}\bar x+\bar y\bar x^{2013} \leqslant \bar y^{2014}+\bar x^{2014}$$

es decir

$$\bar x^{2013}\bar y+\bar x\bar y^{2013} \leqslant \bar x^{2014}+\bar y^{2014}$$

que es equivalente a la primera.