¿Puede un punto tener un grupo de isometría no trivial?

Question

Esta pregunta está muy relacionada con esta otra pregunta . De hecho, una respuesta positiva aquí implica directamente una respuesta positiva allí. Sin embargo, como se trata de una pregunta matemáticamente diferente, he decidido plantearla por separado.

La construcción del cuadrado mágico de Freudenthal-Tits que relaciona las álgebras de Lie excepcionales con las álgebras de isometrías infinitesimales de ciertos "planos proyectivos" sobre el producto tensorial de dos álgebras de división

$$\mathfrak{isom}((\mathbb{A}\otimes\mathbb{B})\mathbb{P}^2) = \mathfrak{der}(\mathbb{A}) \oplus \mathfrak{der}(J_3(\mathbb{B})) \oplus (\mathbb{A}_0\otimes J_3(\mathbb{B})_0)$$

se puede generalizar a espacios proyectivos de dimensión arbitraria $n$ para los anillos de división (y $n\leq2$ para los octoniones), dando como resultado

$$\mathfrak{isom}((\mathbb{A}\otimes\mathbb{B})\mathbb{P}^n) = \mathfrak{der}(\mathbb{A}) \oplus \mathfrak{der}(J_{n+1}(\mathbb{B})) \oplus (\mathbb{A}_0\otimes J_{n+1}(\mathbb{B})_0)$$

En particular, el lado derecho sigue teniendo sentido para $n=0$ :

$$\mathfrak{isom}((\mathbb{A}\otimes\mathbb{B})\mathbb{P}^0) = \mathfrak{der}(\mathbb{A}) \oplus \mathfrak{der}(\mathbb{B})$$

Sin embargo, $(\mathbb{A}\otimes\mathbb{B})\mathbb{P}^0$ es sólo un punto.

En su notas sobre los octoniones , John Baez dice

Podemos pensar en $\mathbb{HP}^n$ como la esfera unitaria en $\mathbb{H}^{n+1}$ con puntos $x$ y $\alpha x$ identificados siempre que $\alpha$ es un cuaternión unitario, y como antes, $\mathbb{HP}^n$ hereda una métrica riemanniana. El grupo $\mathrm{Sp}(n+1)$ actúa como isometrías de $\mathbb{HP}^n$ pero esta acción proviene de a la derecha multiplicación, por lo que

$$\mathrm{Isom} (\mathbb{HP}^n) \cong \mathrm{Sp}(n+1)/\{ \pm 1 \}$$ ya que no $\mathrm{Sp}(1)$ pero sólo su centro $\{\pm 1\}$ actúa trivialmente sobre $\mathbb{HP}^n$ mediante la multiplicación por el derecho. En el nivel del álgebra de Lie, esto da $$\mathfrak{isom}(\mathbb{HP}^n) \cong \mathfrak{sp}(n+1)$$

¿Funciona este argumento cuando $n=0$ ? ¿Cómo puede un punto tener un grupo de isometría no trivial?

Answer 1

No, un punto no puede tener un grupo de isometría no trivial. Sólo hay un único mapa $\{*\}\to \{*\}$ la identidad (esto es válido en la categoría de conjuntos y, por tanto, también en la categoría de espacios métricos).

edit: eliminada la segunda parte del post; no era relevante para la respuesta.

Answer 2

En cuanto al ejemplo del cuaternión, hay una diferencia fundamental entre $\mathbb{H}$ y $\mathbb{H}^n$ con $n >1$ .

Cuando $n=1$ entonces cada $\mathbb{H}$ -Homotezas lineales $\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$ conservar las líneas (de hecho, sólo hay una línea). Cuando $n >1$ Sólo el $\mathbb{H}$ -Homotezas lineales $\mathbb{H}^n \rightarrow \mathbb{H}^n$ con real líneas de conservación del coeficiente. (Nota : si un escalar $\lambda \in \mathbb{H}$ actúa sobre un vector $x$ por $\lambda x$ , entonces a $\mathbb{H}$ -la homotecia lineal es un mapa $x \mapsto x.a$ donde $a \in \mathbb{H}$ es el coeficiente. Obsérvese que $x \mapsto a.x$ no es lineal).

Así, en las notas de Báez, cuando $n=0$ la línea $$ \mathrm{Isom}(\mathbb{H}P^n) \simeq \mathrm{Sp}(n+1)/\{±1\}$$ debe ser sustituido por $$ \mathrm{Isom}(\mathbb{H}P^0) \simeq \mathrm{Sp}(1)/\{ \text{units}\}$$ que es trivial.