Una función continua con soporte compacto implica que $\int |f(x)|dx<\infty$

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $\mathbb R^n$ y que $\mathrm {supp} f$ ser compacto. Entonces, demuestre que $\displaystyle\int |f(x)|dx<\infty$ .

¿Esta idea es correcta?

Prueba

Desde $f$ es continua y $\mathrm{supp}f$ es compacto, existe $C>0$ s.t. $|f(x)|\leqq C$ sobre el apoyo $f$ .

Y como $\mathrm{supp}f$ es compacto, $\mu (\mathrm{supp}f)<\infty$ .

Entonces,

\begin{align} \displaystyle\int |f(x)|dx &=\int_{\mathrm{supp}f} |f(x)| dx+\int_{(\mathrm{supp}f)^c} |f(x)| dx \\ &=\int_{\mathrm{supp}f} |f(x)| dx+\int_{(\mathrm{supp}f)^c} 0 \ dx\\ &=\int_{\mathrm{supp}f} |f(x)| dx\\ &\leqq \int_{\mathrm{supp}f} C dx\\ &=C \cdot \mu(\mathrm{supp} f)\\ &<\infty \end{align}

¿Está bien?

Answer 1

Sí, es correcto. Sin embargo, considere aclarar por qué $\mu(K)<\infty $ , donde $K:=\operatorname{supp}(f)$ con un razonamiento como este: como $K\subset \mathbb{R}^n$ es compacto, entonces está acotado, por lo que existe algún $M>0$ tal que $\|x\|_2<M$ para cualquier $x\in K$ , entonces con $\lambda $ la medida de Lebesgue podemos ver que $K\subset [-M,M]^n$ Así que $\lambda (K)\leqslant \lambda([-M,M]^n)=(2M)^n<\infty $ .