¿Qué significan las matrices Pauli?

Question

Todas las presentaciones que he encontrado para Matrices de Pauli hasta ahora, simplemente los declaran y luego empiezan a usarlos. Las descripciones que acompañan a su significado parecen frustrantemente incompletas; yo, al menos, no puedo entender las matrices de Pauli después de leerlas.

Mi actual comprensión y confusión se demuestra a continuación. Estaría muy agradecido si alguien pudiera rellenar todos los agujeros, o hacer otros nuevos cuando sea apropiado.

Los espinazos parecen vectores de columna, es decir. $$s = \left ( \begin {matrix}1 \\0\\1\end {matrix} \right )$$ y se usan para que la rotación en tres dimensiones (usando números complejos) pueda ser transformada linealmente. ¿Qué significa el ejemplo del espinazo de arriba? ¿Un valor de espín de 1 en las direcciones x y z? ¿Cómo puede girar $ \frac {1}{2}$ ser representado con sólo 1s entonces?

Se utiliza un vector tridimensional para construir la matriz de Pauli para cada dimensión. Por ejemplo, para el espín $ \frac {1}{2}$ los vectores utilizados para x, y y z son $v_x =(1,0,0)$ , $v_y=(0,1,0)$ y $v_z=(0,0,1)$ . Los transformas cada uno a la matriz Pauli correspondiente mediante la siguiente ecuación, usando la dimensión x para la demostración, $$ P^x= \left ( \begin {matrix} v_3^x&v_1^x - i v_2^x \\ v_1^x+i v_2^x&-v_3^x \end {matrix} \right ) $$ donde el superíndice denota dimensión, no poder.

Una vez que se tienen estas matrices, se operan los espirales con ellas. ¿Qué hace esto?

También se pueden encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz, que se pueden utilizar para encontrar la probabilidad de que una partícula, si se mide para tener un determinado giro en una dimensión, cuando se mida la siguiente tendrá giro en otra dimensión que usted elija. No entiendo cómo funciona esto. ¿Qué representan físicamente el eigenvalor y el eigenvector en este sentido, y cómo encajan los giros hacia arriba y hacia abajo en esto? Por ejemplo, si tuvieras una partícula de espín-1 que supieras que tiene espín en la dirección x, ¿qué harías para encontrar la probabilidad de que tenga espín hacia arriba o hacia abajo en la dimensión z o y en la próxima medición?

Ejemplos concretos probablemente ayudarían mucho a mi comprensión.

Answer 1

Permítanme primero recordarles (o quizás presentarles) un par de aspectos de la mecánica cuántica en general como modelo de los sistemas físicos. Me parece que muchas de sus preguntas pueden responderse con una mejor comprensión de estos aspectos generales, seguida de una apelación a cómo surgen los sistemas de espín como caso especial.

Observaciones generales sobre los estados cuánticos y la medición.

El estado de un sistema cuántico se modela como un elemento de longitud unitaria $|\psi\rangle$ de un espacio de Hilbert complejo $\mathcal H$ un tipo especial de espacio vectorial con un producto interno. Cada cantidad observable (como el momento o el espín) asociada a un sistema de este tipo cuyo valor se quiera medir está representada por un operador autoadjunto $O$ en ese espacio. Si uno construye un dispositivo para medir tal observable, y si uno usa ese dispositivo para hacer una medición de ese observable en el sistema, entonces la máquina dará un valor propio $\lambda$ de ese observable. Además, si el sistema está en un estado $|\psi\rangle$ entonces la probabilidad de que el resultado de la medición de esa cantidad sea el valor propio del observable es \begin {align} p( \lambda ) = | \langle \lambda | \psi\rangle |^2 \end {align} donde $|\lambda\rangle$ es el vector propio normalizado correspondiente al valor propio $\lambda$ .

Especialización en sistemas de giro.

Supongamos ahora que el sistema que estamos considerando consiste en el espín de una partícula. El espacio de Hilbert que modela el estado de espín de un sistema con espín $s$ es un $2s+1$ espacio de Hilbert dimensional. Los elementos de este espacio vectorial suelen llamarse "espinores", pero no dejes que esto te distraiga, son como cualquier otro vector de un espacio de Hilbert cuyo trabajo es modelar el estado cuántico del sistema.

Los observables primarios cuya medición se suele discutir para los sistemas de espín son las componentes cartesianas del espín del sistema. En otras palabras, hay tres operadores autoadjuntos llamados convencionalmente $S_x, S_y, S_z$ cuyos valores propios son los posibles valores que se pueden obtener si se mide uno de estos componentes del espín del sistema. El espectro (conjunto de valores propios) de cada uno de estos operadores es el mismo. Para un sistema de espín $s$ , cada uno de sus espectros está compuesto por los siguientes valores: \begin {align} \sigma (S_i) = \{m_i \hbar\ m_i=-s,-s+1, \dots s-1,s\N-} \end {align} donde en mi notación $i=x,y,z$ . Así, por ejemplo, si se construye una máquina para medir el $z$ componente del espín de un espín- $1$ sistema, entonces la máquina dará uno de los valores del conjunto $\{-\hbar, 0, \hbar\}$ cada vez. En correspondencia con cada uno de estos valores propios, cada operador de componente de espín tiene un vector propio normalizado $|S_i, m_i\rangle$ . Como se indica en las observaciones generales anteriores, si el estado del sistema es $|\psi\rangle$ y se quiere conocer la probabilidad de que la medición de la componente de espín $S_i$ dará un valor determinado $m_i\hbar$ , entonces simplemente se calcula \begin {align} | \langle S_i, m_i | \psi\rangle |^2. \end {align} Por ejemplo, si el sistema tiene spin- $1$ y si se quiere saber la probabilidad de que una medida de $S_y$ dará el valor propio $-\hbar$ , entonces se calcula \begin {align} | \langle S_y, -1| \psi\rangle |^2 \end {align}

Espinores.

En el contexto anterior, los espinores son simplemente las representaciones matriciales de los estados de un sistema de espín particular en una determinada base ordenada, y las matrices de espín de Pauli son, hasta una normalización, las representaciones matriciales de los operadores componentes de espín en esa base específicamente para un sistema con espín- $1/2$ . Las representaciones matriciales suelen facilitar el cálculo y la comprensión conceptual, por lo que las utilizamos.

Más explícitamente, supongamos que se considera un espín- $1/2$ sistema, y se elige representar los estados y observables en la base $B =(|S_z, -1/2\rangle, |S_z, 1/2\rangle)$ que consiste en los vectores propios normalizados de la $z$ componente de espín, entonces se encontrarían las siguientes representaciones matriciales en esa base \begin {align} [S_x]_B &= \frac { \hbar }{2} \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} = \frac { \hbar }{2} \sigma_x\\ [S_y]_B &= \frac { \hbar }{2} \begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end {pmatrix} = \frac { \hbar }{2} \sigma_y\\ [S_z]_B &= \frac { \hbar }{2} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end {pmatrix} = \frac { \hbar }{2} \sigma_z\\ \end {align} Obsérvese que estas representaciones son precisamente las matrices de Pauli hasta el extra $\hbar/2$ factor. Además, cada estado del sistema estaría representado por un $2\times 1$ matriz, o "espinor" \begin {align} [| \psi\rangle ]_B = \begin {pmatriz} a \\ b \end {pmatrix}. \end {align} Y se pueden utilizar estas representaciones para realizar los cálculos mencionados anteriormente.

Answer 2

Los grupos son estructuras matemáticas abstractas, definidas por su topología (en el caso de los grupos continuos (Lie)) y la operación de multiplicación.

Pero es casi imposible hablar de grupos abstractos. Por eso, normalmente los elementos de los grupos se mapean en operadores lineales que actúan sobre algún espacio vectorial $V$ :

$$ g \in G \rightarrow \rho(g) \in \text{End}(V), $$

donde G es el grupo, $\text{End}(V)$ representa endomorfismos (operadores lineales) en $V$ y $\rho(g)$ es el mapeo. Para que este mapeo tenga sentido, tenemos que mapear la multiplicación del grupo adecuadamente:

$$ \rho(g_1 \circ g_2) = \rho(g1) \cdot \rho(g2). $$

La inversa también se asigna a

$$ \rho(g^{-1}) = \rho(g)^{-1} $$

y la identidad del grupo es simplemente

$$ \rho(e) = \text{Id}_V. $$

Esto se llama la representación del grupo $G$ . $V$ se transforma bajo la representación $\rho$ del grupo $G$ .

En su caso, el grupo de interés es el grupo de rotaciones en 3 dimensiones, que se suele denotar como SO(3). Nuestro objetivo es encontrar diferentes objetos que se puedan rotar, es decir, representaciones (y espacios de representación) de SO(3).

Una de estas representaciones es la representación definitoria (que se utiliza para definir SO(3)), o la representación vectorial. En este caso $V$ es sólo $R^3$ y las matrices de $\rho(\text{SO(3)})$ son ortogonales $3\times 3$ matrices con determinante unitario:

$$ A^{T} A = 1;\quad \det A = 1 $$

Así que los vectores pueden girar en 3 dimensiones. El resultado de dicha rotación por $g \in \text{SO(3)}$ se determina actuando sobre el vector inicial con el operador $\rho(g)$ .

Otra representación es la del espinor. El espacio vectorial es ahora 2 dimensiones y complejo . La imagen de esta representación se compone de unitario $2\times 2$ con determinante unitario:

$$ A^{\dagger} A = 1;\quad \det A = 1. $$

Esta representación no es tan obvia como la anterior, ya que los espinores son algo que no solemos ver en la vida cotidiana. Pero se puede demostrar matemáticamente que estas representaciones son isomorfas y, por tanto, son dos representaciones diferentes del mismo grupo (en realidad, son homomorfas y la representación de los espinores es la doble cobertura de la representación vectorial).

Pasemos ahora a las matrices de Pauli. Existe un principio general: para cada grupo de Lie $G$ existe un espacio lineal correspondiente (álgebra de Lie) con un corchete de Lie (una operación anticomutativa que satisface la identidad de Jacobi) que mapea unívocamente hacia alguna vecindad de la unidad de grupo de $G$ . Este mapeo se denomina exponencial.

Así que se puede escribir un arbitrario (lo suficientemente cercano a la unidad para evitar problemas topológicos globales) $2\times 2$ matriz compleja de la representación del espinor en forma

$$ A = \exp \left[ \frac{i}{2} \alpha^a \sigma_a \right], $$

donde $\alpha^a$ son tres números que parametrizan el elemento del grupo cuya representación es $A$ y $\frac{i}{2} \sigma_a$ son las bases del álgebra de Lie, con $\sigma_a$ - 3 $2\times 2$ Matrices de Pauli. Esta ecuación especifica más o menos cómo se transforma un espinor bajo una rotación arbitraria.

En la representación vectorial también hay una base del álgebra de Lie, que consiste en 3 $3\times 3$ matrices.

Answer 3

Hay otras dos interpretaciones de las matrices de Pauli que pueden resultarle útiles, aunque sólo después de entender La excelente descripción física de JoshPhysics . Lo que sigue puede tomarse más como "trivialidades divertidas" (al menos yo las encuentro interesantes) sobre las matrices de Pauli que como una interpretación física.

1. Como base para $\mathfrak{su}(2)$

La primera interpretación se ve de varias maneras: (i) son unidad cuaterniones, modulando un cambio de signo y reordenando la definición matemática de estas bestias (ii) como base para el álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)$ de $SU(2)$ cuando utilizamos la matriz exponencial para recuperar el grupo $SU(2) = \exp(\mathfrak{su}(2))$ a través de (iii) una generalización tridimensional de Teorema de De Moivre .

Un general, sin rastro, $2\times2$ matriz hermitiana sesgada $H$ puede descomponerse de forma única como

$$H = \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z\tag{1}$$

con $\alpha_x,\,\alpha_y,\,\alpha_z\in \mathbb{R}$ . Esta matriz cumple la ecuación característica $H^2 = -\frac{\theta^2}{4}\,\mathrm{id}$ , donde $\mathrm{id}$ es el $2\times2$ identidad y $\frac{\theta}{2} = \sqrt{\alpha_x^2+\alpha_y^2+\alpha_z^2}$ . Así, si desplegamos la serie de Taylor exponencial matricial universalmente convergente, y luego reducimos todas las potencias de $H$ mayor que el término lineal con la ecuación característica, obtenemos:

$$\exp\left(H\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathrm{id} + \hat{H}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\tag{2}$$

que se ve como una generalización de la fórmula de De Moivre para la unidad "imaginaria pura"

$$\hat{H} = \frac{\alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{\sqrt{\alpha_x^2+\alpha_y^2+\alpha_z^2}}\tag{3}$$

y todos los miembros de $SU(2)$ puede realizarse mediante una exponencial como la de (2) (pero hay que tener en cuenta que la exponencial de un álgebra de Lie, aunque el conjunto de $SU(2)$ en este caso, no es siempre el grupo de Lie completo, a menos que éste sea (i) conexo y (ii) compacto). Así, cada miembro de $SU(2)$ puede descomponerse como un "superpositón de longitud unitaria de las matrices de Pauli y la matriz identidad".

La razón del factor 2 en la definición $\theta/2$ es hasta ahora misteriosa: atestigua que, a efectos de lo anterior, podríamos haber sustituido fácilmente $\theta/2$ por $\theta$ . La razón está relacionada con la relación entre las matrices de Pauli y la esfera celeste, de la que hablo más adelante. Los cuaterniones representan rotaciones a través de un mapa de espinores ( PERO (como aconseja Joshphysics, no te distraigas demasiado con esta palabra); si un vector en el espacio 3 está representado por un cuaternión puramente imaginario de la forma $x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z$ , entonces su imagen bajo una rotación de ángulo $\theta$ en torno a un eje con cosenos de dirección $\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z$ está dada por:

$$x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z \mapsto U\,(x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z)\,U^\dagger;\quad U=\exp\left(\frac{\theta}{2}(\gamma_x\,\sigma_x+\gamma_y\,\sigma_y+\gamma_z\,\sigma_z)\right) \tag{4}$$

Este mapa espinor es un ejemplo del grupo $SU(2)$ actuando sobre su propia álgebra de Lie a través de la representación adjunta. Puede entenderse intuitivamente en términos de una regla del triángulo para calcular las composiciones de dos rotaciones, como se esboza en mi diagrama siguiente. Los arcos en la esfera unitaria representan una rotación a través de un ángulo doble del ángulo subtendido por el arco en el origen.

Lo explico con detalle en Ejemplo 1.4 " $2\times2$ Grupo Unitario $SU(2)$ " en mi página web "Algunos ejemplos de grupos de Lie conectados" aquí .

También está mi demostración interactiva de Mathematica "El $SU(2)$ Mapa Spinor: Rotation Composition by Graphical Quaternion Triangles" en el sitio de Demostraciones Wolfram .

2. La esfera celeste

Expandiendo el espacio lineal tridimensional de superposiciones de matrices de Pauli (que es el mismo que el espacio lineal de sin rastro $2\times2$ matrices skew-Hermitianas) al espacio de 4 dimensiones abarcado por las matrices de Pauli y las matrices de identidad, entonces cualquier transformación del grupo $SL(2,\,\mathbb{C})$ actúa sobre vectores de la forma $t\,\mathrm{id}+x\,\sigma_x + y\, \sigma_y + z\,\sigma_z$ por el mismo mapa espinor que en (4). Si nos limitamos a los rayos proyectivos en este espacio, el grupo $SL(2,\,\mathbb{C})$ es isomorfo al grupo de Moebius de Transformaciones de Möbius actúa sobre este espacio de rayos exactamente igual que las transformaciones de Möbius (lineales fraccionarias) actúan sobre la esfera de Riemann. $SL(2,\,\mathbb{C})$ es una doble cobertura del grupo de Lorentz, y se puede calcular cómo cambia la vista de un espaciador al sufrir transformaciones de Lorentz. Véase la sección "Transformaciones de Lorentz" en la página "Transformación de Möbius" de Wikipedia para más detalles.

Answer 4

Una explicación mecánica general. Los campos y las ondas siguen ecuaciones hiperbólicas (ecuaciones de onda). Estas representan el avance en el espacio y el tiempo, y como tal no pueden representar masas que necesitan estar estacionarias, pero que también podrían estar girando. Tal movimiento necesita una ecuación elíptica. Por ejemplo, la ecuación de Kline-Gordon es hiperbólica, mientras que la ecuación de Dirac es elíptica. En los fluidos que fluyen hay un ejemplo paralelo. Los vórtices y las turbulencias no pueden formarse sin la ayuda de un límite que desvíe el flujo del estado de avance al de circulación. La primera región es hiperbólica y la segunda es elíptica.

Ahora, para crear una partícula (energía giratoria) a partir de un campo (que se mueve en posición) necesitamos desviar/rotar la dirección del campo. Aquí es donde las matrices de Pauli vienen a ayudar, y dan la elipticidad requerida. Por eso se utilizan números imaginarios/rotación. Multiplicando una cantidad por i la giramos 90 grados, para un ángulo general utilizamos el exponencial de una cantidad imaginaria.

Más tarde, cuando mezclamos los Lagrangianos de ondas y partículas en un modelo más general, volvemos a utilizar el Higgs para hacer el mismo trabajo de transformación de un tipo de energía a otro, es decir, de campos a partículas y viceversa.