Encontrar la ecuación del nuevo plano después de que el original haya sido girado un ángulo

Question

Halla la ecuación del plano que se obtiene después de girar el plano $x+y+z=1$ por $90^{\circ}$ sobre su línea de intersección con el plano $x-2y+3z=0$ .

Como tenía que elegir una de las cuatro opciones dadas para esta pregunta, me limité a elegir algunos puntos al azar en la línea de intersección y encontré la ecuación del plano que los satisfacía. Sin embargo, me gustaría saber cómo resolver formalmente esta pregunta. Aparentemente, debo obtener dos planos.

Obtuve la ecuación de la línea de intersección como $$\frac{x-\frac23}{5}=\frac{y-\frac13}{-2}=\frac{z}{-3}$$

Ahora, necesito ayuda. La normal del primer plano es obviamente perpendicular a esta línea. Después de la rotación a través de $90^{\circ}$ ¿Será paralelo a la línea? No soy capaz de imaginar la geometría.

Answer 1

Básicamente no habrá realmente una respuesta posible para esta pregunta, se puede tener a dos planos que pueden ser girados por $90$ El otro no aparece en la imagen. Para acercarse a esto creo que tendrá que tomar estas condiciones. Ya que he tenido una pregunta de este tipo, pero no recuerdo el algoritmo exacto ahora.

1) El plano girado contiene la línea. Y por lo tanto cualquier punto de la línea también.

2) El plano es normal al plano desde el que se gira. (Esta es la condición que dará dos raíces, por lo tanto dos planos).

3)También puedes probar con la familia de aviones. Simplemente se requiere un plano que pase por la intersección de ese plano.

Este enfoque exacto, por lo que recuerdo, era bastante desordenado.

$\color{red}{EDIT:}$ Acabo de realizar los dos planos ya sea girando $90$ en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj son realmente equivalentes, sólo habrá un único plano como respuesta. He aquí la razón.

Pictóricamente, los dos "distintos" deberían ser $180$ entre sí, pero eso sólo equivale a $0$ en el caso de los aviones. Es sólo una cuestión de orientación, y ya que estos son ni vectores que tienen vector normal definido. Ambos son equivalentes.

2) Así es como se aborda algebraicamente.

Cualquier plano que pase por la intersección de dos planos es $(x+y+z-1)+\lambda(x-2y+3z)=0$

Es normal en el plano $(x+y+z-1)=0$ , lo que da $\lambda=\frac{-3}{2}$ Obsérvese que sólo hay un valor de $\lambda$ .

Por lo tanto, el plano requerido es , $x-8y+7z+2=0$