¿La topología métrica es igual a la topología subespacial?

Question

He pensado en esta pregunta durante un tiempo, de Basener Topología y sus aplicaciones.

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico con una métrica $d$ y $Y \subseteq X$ . Demostrar que la topología del subespacio en $Y$ heredado de $X$ es la misma que la topología métrica de la métrica $d$ en $Y$ .

Aquí hay un intento que parece borroso: Elija $U \subset Y$ abierto. Entonces $U$ está abierto en $X$ bajo la topología del subespacio. Pero se puede construir una bola $B(x)$ con algún radio $r$ , donde $x \in U$ utilizando la métrica $d$ y así $U$ está abierto en $X$ en el $d$ -Topología métrica.

Mi idea es que dos topologías son iguales si los conjuntos abiertos de una son también abiertos en la otra. Sin embargo, no estoy seguro de que mi planteamiento sea correcto.

Answer 1

Si $d_Y$ es la métrica de $X$ restringido a $Y$ (así que esencialmente $d\restriction_{Y \times Y}$ ), la principal observación es que para las bolas en esta métrica tenemos, casi por definiciones:

$$\forall y \in Y: \forall r>0: B_{d_Y}(y,r) = B_d(y,r) \cap Y$$

para que el $d_Y$ -bolas dentro $Y$ son relativamente abiertas en $Y$ lo que ya implica que la topología métrica en $Y$ inducido por $d_Y$ es un subconjunto de la topología del subespacio, y por otro lado si $O$ está abierto en $X$ y $y \in O \cap Y$ , algunos $d$ -Bola abierta alrededor $y$ se sienta en el interior $O$ y luego la bola intersectada (por lo tanto a $d_Y$ bola por lo anterior) se sienta dentro de $O \cap Y$ , haciendo que todos los miembros de $O \cap Y$ puntos interiores en el $d_Y$ -y, por tanto, la topología del subespacio es un subconjunto de la topología inducida por $d_Y$ . De ahí la igualdad de topologías.

Answer 2

Dejemos que $U$ estar abierto dentro de $Y$ .
Por lo tanto, existe $V$ abierto dentro de $X$ con $U = V \cap Y$ .
Para todos $x$ en $V$ , existe la bola $B(x)$ con $B(x) \subseteq V$ .
$V = \bigcup \{ B(x) : x \in Y \}$ .

$$U = V \cap Y = \bigcup \{ B(x) : x \in V \} \cap Y = \bigcup \{ B(x) \cap Y : x \in V \} = \bigcup \{ B(x) \cap Y : x \in X \}$$

(La última igualdad requiere cierta reflexión para demostrarla).
Como todo conjunto abierto de $Y$ es la unión de una colección de bolas de $Y$ ,
$Y$ se mide por la métrica de $X$ .