Existencia de una solución global para $y = f(y,x)$ cuando $f$ es continua

Question

Dejemos que $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua. Por el teorema de Peano existe un local solución al problema de Cauchy $$ \begin{cases} y' = f(y,x),\\ y(0) = y_0. \end{cases} $$

Si requiero la condición $$ \dfrac{d}{dx}\|y(x)\|^2 \leq K +\| y(x)\|^2, $$ también se mantenga en cualquier intervalo en el que esté definida la solución, la existencia global está garantizada. ¿Por qué es así? ¿Qué puede ocurrir si no se cumple esta condición?

Answer 1

Integrando la desigualdad diferencial obtenemos $$ \|y(x)\|^2\le \|y_0\|^2e^{x}+K(e^x-1) $$ en cualquier intervalo en el que esté definida la solución. Esto implica que la solución es global.

Si la condición no se cumple, la solución puede explotar en un tiempo finito. Un ejemplo unidimensional es la ecuación $y'=y^2$ , $y(0)=y_0>0$ .