Motivación para la Definición de Espacio Compacto

Question

Un espacio topológico compacto se define como un espacio, $C$, tal que para cualquier conjunto $\mathcal{A}$ de conjuntos abiertos tal que $C \subseteq \bigcup_{U\in \mathcal{A}} U$, existe un conjunto finito $\mathcal{A'} \subseteq \mathcal{A}$ tal que $C \subseteq \bigcup_{U'\in \mathcal{A'}} U'$.

Ahora, esta definición conduce a muchos resultados interesantes, pero si estuviera enseñando a alguien sobre conjuntos compactos, ¿cómo motivaría esto? Conceptos como compacidad secuencial, abiertos y cerrados, e incluso conexidad son razonablemente fáciles de motivar. No puedo ver cómo motivar esta definición. Los espacios compactos a menudo se ven como generalizaciones de espacios finitos. También se ven como una generalización de acotamiento y cerrazón. No puedo ver cómo conectar la definición con estos conceptos.

Alternativamente, ¿existe una definición de un conjunto compacto que sea más fácil de motivar?

Answer 1

Uno de mis libros de texto favoritos es Topology de Klaus Janich, y tiene una buena motivación para la compacidad que siento, es decir, por qué deberíamos preocuparnos. Esto se suma a mi comentario sobre los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff siendo esencialmente como conjuntos de puntos finitos. Pero él escribe:

En espacios compactos, es posible la siguiente generalización de propiedades "locales" a "globales": Sea $X$ un espacio compacto y $P$ una propiedad que los subconjuntos abiertos de $X$ pueden o no tener, y tal que si $U$ y $V$ la tienen, entonces también la tiene $U\cup V$. Entonces si $X$ tiene esta propiedad localmente, es decir, cada punto tiene un vecindario con la propiedad $P$, entonces $X$ en sí tiene la propiedad $P$.

Esto es interesante, pero es un poco avanzado, y él da algunos ejemplos que siguen como un mapa continuo/localmente acotado de un espacio compacto a $\mathbb{R}$ está acotado, y algunas discusiones de cubrimientos localmente finitos y variedades (honestamente, me gusta este libro después de aprender topología, no para aprender de él).

Espero que eso ayude un poco.

Answer 2

Según Munkres, la definición original de compacidad es un espacio que cumple con la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Es decir, si cada subconjunto infinito tiene un punto límite.

Desafortunadamente, resulta que esta concepción de compacidad, a veces llamada compacidad de punto límite, no tiene todas las propiedades útiles que la compacidad tiene.

Por ejemplo, la imagen continua de un espacio compacto de punto límite no necesita ser compacta de punto límite. Además, un subespacio compacto de punto límite de un espacio de Hausdorff no necesita ser cerrado.

Answer 3

Una definición equivalente es que si $ F$ es una familia no vacía de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita (F.I.P.), entonces $\cap F \not = \phi $. Esto generaliza la idea de límites, y se puede demostrar que muchos resultados, por ejemplo, sobre subconjuntos cerrados acotados de $ R^n$, utilizando esta propiedad, por lo que se considera una herramienta útil para que un espacio sea compacto. Una vez que se muestran algunas consecuencias adicionales, por ejemplo, que la imagen continua de un conjunto compacto es compacta, se puede mostrar cómo aplicarlas, por ejemplo, en análisis, mostrando que existe un extremo (de ahí el Teorema del Valor Medio en cálculo). Por lo tanto, se obtienen resultados más fáciles y nuevos a partir de la compacidad.

Answer 4

Para la acotación: Puede dar un ejercicio para que los estudiantes necesiten mostrar que una métrica acotada puede inducir la misma topología que una no acotada (al menos puedes mostrar fácilmente eso para espacios métricos con $d(x,y)$ y $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$). Entonces, la acotación no es realmente una propiedad topológica.

Si cada recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito (y utilizando esa métrica acotada en lugar de la regular), puedes asociar conjuntos compactos con conjuntos que no son demasiado grandes, teniendo algo así como una idea de acotación. De hecho, se comportan "puntualmente" ($T_2$ y compacto implica $T_4$, $f(K)$ compacto nuevamente, para $K$ siendo compacto, etc.). Ya que estás preguntando por una motivación, creo que el espacio métrico debería estar bien.

Answer 5

Creo que la mejor manera de motivar la compacidad es en análisis real, un conjunto $F$ se dice que es un conjunto compacto si está acotado y cerrado. Es muy fácil imaginar algo compacto como este. La definición general, en espacios topológicos en general, está motivada por el teorema de Bolzano-Weierstrass.