Hamiltoniano modificado en el método de Euler simpléctico

Question

Ahora considero el problema del oscilador armónico.
La ecuación diferencial ordinal es
$$\begin{align*} \dot{q} &= p \\ \dot{p} &= -q \end{align*}$$ En el método de Euler simpléctico, donde $$\begin{align*} \cfrac{p^{(m+1)} - p^{(m)}}{\Delta t} &= -q^{(m)} \\ \cfrac{q^{(m+1)} - q^{(m)}}{\Delta t} &= p^{(m+1)} \end{align*}$$ el operador de flujo $\psi_{{\rm d}, \Delta} = ((1-\Delta t^2)q + \Delta t \cdot p, -\Delta t \cdot q + p)$ es simpléctica.

Aquí, el libro de texto sugiere que este operador de flujo integra estrictamente el hamiltoniano modificado y este hamiltoniano es invariante. Este hamiltoniano modificado es $$\begin{align*} \tilde{H} = \cfrac{q^2+p^2}{2} - \cfrac{qp}{2} \Delta t \end{align*}$$
No puedo entender cómo derivar $\tilde{H}$ .

Answer 1

Compara los niveles de energía en el punto intermedio $$(p^{(m)})^2+(q^{(m)})^2=(p^{(m+1)}+q^{(m)}Δt)^2+(q^{(m)})^2\\ =(p^{(m+1)})^2+(q^{(m)})^2+2p^{(m+1)}q^{(m)}Δt+(q^{(m)})^2Δt^2$$ y $$(p^{(m+1)})^2+(q^{(m+1)})^2=(p^{(m+1)})^2+(q^{(m)}+p^{(m+1)}Δt)^2\\ =(p^{(m+1)})^2+(q^{(m)})^2+2p^{(m+1)}q^{(m)}Δt+(p^{(m+1)})^2Δt^2$$ Los términos de primer orden en $Δt$ son iguales y se pueden compensar restando $2pqΔt$ ya que los términos adicionales que introduce son del orden $Δt^2$ y superior.

$$\begin{align} (p^{(m)})^2+(q^{(m)})^2-2p^{(m)}q^{(m)}Δt &=(p^{(m)}-q^{(m)}Δt)^2+(q^{(m)})^2-(q^{(m)})^2Δt^2 \\ &=(p^{(m+1)})^2+(q^{(m)})^2-(q^{(m)})^2Δt^2 \\[0.5em] (p^{(m+1)})^2+(q^{(m+1)})^2-2p^{(m+1)}q^{(m+1)}Δt &=(p^{(m+1)})^2+(q^{(m+1)}-p^{(m+1)}Δt)^2-(p^{(m+1)})^2Δt^2 \\ &=(p^{(m+1)})^2+(q^{(m)})^2-(p^{(m+1)})^2Δt^2 \end{align}$$

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En el caso más general con un hamiltoniano $H=\frac12p^2+V(q)$ y por lo tanto $$p^{(m+1)}=p^{(m)}-V'(q^{(m)})Δt$$ el mismo enfoque da el Hamiltioniano modificado $$\tilde H=\frac12p^2+V(q)-pV'(q)Δt,$$ como también $V(q)-pV'(q)Δt=V(q-pΔt)+O(Δt)^2$ .