Derivabilidad de una función con infinidad de ceros

Question

Dejemos que $F$ sea un espacio vectorial normado y $a\in F$ . ¿Existe una función no nula $f:\mathbb{R}\rightarrow F$ , de tal manera que $f'(a)=0$ y $f$ es $0$ una infinidad de veces en cualquier vecindad de $a$ ?

Si no, ¿cómo se puede demostrar que no es posible?

PD : Esto no es una tarea, sólo me lo preguntaba porque si fuera imposible, facilitaría una prueba en la que estoy trabajando.

Answer 1

Me parece perfectamente posible.

Tome $F = \mathbb R$ , $a=0$ y $\displaystyle f(x)=\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ (con $f(0)=0)$ .

Si no me equivoco, $f$ incluso verifica $f^{(n)}(0)=0$ para todos $n \in \Bbb N$ .