¿Cuál es el divisor canónico de una lisa superficie algebraica?

Question

¿Hay alguna condición en un complejo algebraico de la superficie que implica que tiene un suave canónica divisor? Estoy buscando la más nítida posible afección, pero el suficiente criterio sería bueno también.

Por ejemplo, la pregunta es bastante simple para las superficies que pueden ser incrustados en $P^3$. Aproximadamente, sólo un aviso de que en este caso el sistema lineal de la canónica de la línea de paquete es el punto de base libre y, por lo tanto, por Bertini del teorema, podemos encontrar una suave canónica divisor.

Cuando no podemos evitar tener una singular canónica divisor, entonces, nos quedamos con algunos singular curvas. Estoy interesado en el cálculo de la característica de Euler de sus simétrica producto. Voy a publicar una pregunta acerca de esto en un seguimiento de preguntar.

Answer 1

Cualquier proyectiva lisa superficie con nonempty $K_X$ es obtenido por la voladura de un número finito de puntos en su único modelo mínimo. A partir de la fórmula $K_X=f^*K_Y+E$ para la voladura, se ve que la excepcional divisores de la voladura siempre están en la base de locus de $|K_X|$. Por lo tanto, el problema se reduce a que el modelo mínimo.

Entonces usted tiene que ir a través de la clasificación de la mínima modelos de superficies, que ha sido conocido por más de cien años. (El uso de un libro como el de van de Ven "superficies Complejas", o Shafarevich et al, o Beauville...)

Para una superficie mínima $Y$ Kodaira dimensión 0 por ejemplo, $12K_Y=0$. Así que o $K_Y\ne 0$ y, a continuación, $|K_X|=\emptyset$ o $K_Y=0$ y, a continuación, cualquier divisor en $|K_X|$ $\sum a_i E_i$ donde $E_i$ son los divisores excepcionales de las imágenes ampliadas.

Para una superficie mínima $Y$ de Kodaira de la dimensión 2, la pregunta sigue siendo algo complicado. Si se mira más altos múltiplos $|mK_Y|$ es suficiente, entonces por un conocido teorema (Bombierri? ciertamente I. Reider dio una muy buena prueba), $|5K_Y|$ es gratis, por lo general un elemento es suave (en el carácter 0). Para $|K_Y|$ no creo que la respuesta es conocida, pero ¿por qué no buscar mathscinet.

Finalmente, para Kodaira la dimensión 1, una superficie elíptica $\pi:Y\to C$, hay un conocido de Kodaira la fórmula canónica de la clase $K_Y=\pi^*K_C + R$ con explícita racional de los coeficientes en $R$. Me gustaría jugar con eso. De nuevo, para mayor múltiplos creo $|12K_Y|$ obras.

Por supuesto, a su ejemplo de una hipersuperficie en $\mathbb P^3$ puede agregar el caso de completar las intersecciones, y otras superficies para que $K_X$ es cero o $\pm K_X$ es muy amplio.