Encontrar el límite de una expresión que implica dos funciones trascendentes de Lerch

Question

Considera la siguiente expresión: $$ f(s) = s^{n+1} \, \Phi(s^2,1,-1-\epsilon) - s^3 \Phi \left(s^2,1,-\frac{n}{2}-\epsilon \right) \, , $$ donde $\Phi$ es la función trascendente de Lerch (implementada en Maple como LerchPhi). Aquí $s \in [0,1]$ . Me preguntaba si existe una técnica que permita la evaluación analítica del límite de $f(s)$ como $\epsilon \to 0$ .

En realidad, se puede demostrar que esto surge en la evaluación de la suma $$ \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \frac{s^{2k+3}}{\frac{n}{2}-k} = s^{n+1} + \lim_{\epsilon\to 0} f(s) \, , $$ donde $n$ es un número entero par.

Cualquier ayuda o sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Tenemos $$f(s) = s^{n + 1} \sum_{k \geq n/2 - 1} \frac {s^{2 (k - n/2 + 1)}} {k - n/2 - \epsilon} - s^3 \sum_{k \geq 0} \frac {s^{2 k}} {k - n/2 - \epsilon} = \\ -\sum_{0 \leq k < n/2 - 1} \frac {s^{2 k + 3}} {k - n/2 - \epsilon} \xrightarrow {\epsilon \to 0} \sum_{0 \leq k < n/2 - 1} \frac {s^{2 k + 3}} {n/2 - k}.$$ Se puede obtener una forma cerrada utilizando la identidad $$\Phi(z, 1, a) = \frac 1 z \Phi \!\left( \frac 1 z, 1, 1 - a \right) + \pi (-z)^{-a} \csc \pi a, \\ |z| > 1, \;a \notin \mathbb Z$$ y luego pasar al límite, lo que da $$\lim_{\epsilon \to 0} f(s) = s^{n - 1} \Phi \!\left(\frac 1 {s^2}, 1, 2 \right) - s \Phi \!\left( \frac 1 {s^2}, 1, \frac n 2 + 1 \right).$$