Elección de una rama para $\log$ al comparar $\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)$ y $\sum_{n=1}^\infty \log{(1+a_n)}$

Question

En Ahlfors, en la página 191, habla de la relación entre $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ y $\sum_{n=1}^\infty \log(1+a_n)$ . Dice:

Desde el $a_n$ son complejos, debemos ponernos de acuerdo en una rama definida de los logaritmos, y decidimos elegir la rama principal en cada término.

No menciona la posibilidad de que uno de los términos se sitúe en el eje real negativo. ¿Qué ocurre entonces?

Answer 1

Dado que una condición necesaria para que el producto converja es que los factores converjan a $1$ al comprobar la convergencia de $\prod\limits_{n=1}^\infty(1+a_n)$ podemos suponer que $a_n \to 0$ , de lo contrario el producto es trivialmente divergente. Por lo tanto, para todos los términos, excepto los finitos, tenemos $\lvert a_n\rvert < 1$ y luego $\operatorname{Re} 1+a_n > 0$ por lo que podemos utilizar la rama principal del logaritmo para estos. Los términos finitos del producto donde $\operatorname{Re} 1+ a_n \leqslant 0$ no influyen en la convergencia del producto (sólo en el valor al que converge, si es que converge), por lo que se pueden ignorar a estos efectos. Los términos con $a_n = -1$ debe se eliminan del producto (y de la correspondiente suma de logaritmos) al considerar la convergencia, los términos con $a_n < -1$ podría mantenerse, con una elección arbitraria del logaritmo para estos términos finitos, pero es más sencillo excluirlos también (pero habría sido mejor ser explícito al respecto).