Fuerza sobre una capa de carga: ¿Cómo puede el campo eléctrico impartir fuerza sobre las cargas que crearon el campo?

Question

Este es un extracto de Berkeley Physics: Electricidad y Magnetismo por Edward M. Purcell:

La Fuerza sobre la capa de carga:

La esfera tiene carga distribuida en su superficie con densidad uniforme $\sigma$ . En el interior de la esfera, el campo eléctrico de dicha distribución de carga es nulo. Fuera de la esfera, el campo es $\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ , donde $Q$ es la carga total de la esfera, igual a $4\pi r_0 ^2 \sigma$ ... El cambio en la in $E$ de un lado a otro de la capa es $\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$ .

¿Cuál es la fuerza eléctrica que experimentan las cargas que componen esta distribución? La pregunta puede parecer desconcertante al principio porque el campo $E$ surge de estos mismos cargos. Lo que debemos pensar es en la fuerza sobre algún pequeño elemento de carga , como un pequeño parche de área $dA$ con cargo $dq = \sigma dA$ . Consideremos, por separado, la fuerza sobre $dq$ debido a todas las demás cargas dentro del propio parche. Esta fuerza posterior es seguramente nula. La repulsión de Coulomb entre las cargas dentro del parche es sólo otro ejemplo de la Tercera Ley de Newton: el parche en su conjunto no puede empujarse a sí mismo. Esto simplifica nuestro problema, ya que nos permite el campo eléctrico completo $E$ incluyendo el campo debido a todas las cargas en el parche al calcular la fuerza $dF$ en el parche de carga $dq$ : $$ dF = E\cdot dq = E\cdot \sigma dA$$ .

Pero el campo debe ser utilizado, el campo fuera $E = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$ fuera de la esfera o del campo $E= 0$ ¿dentro? El respuesta correcta es el media de dos campos: $$ dF = \frac{1}{2}\left(\dfrac{\sigma}{\epsilon_0} + o\right)\cdot \sigma dA$$ ......

Realmente desconcertante (¡literalmente!). Las frases en negrita son mis áreas de preocupación. Mis preguntas:

1)¿Cómo puede realmente un campo ejercer fuerza sobre las cargas que crearon el campo?

2)No entiendo lo que el Sr. Purcell quiere decir sobre la tercera ley de Newton; ¿Qué quiere decir cuando dice "la fuerza sobre $dq$ debido a todas las demás cargas dentro del propio parche. Esta fuerza posterior es seguramente nula. La repulsión de Coulomb entre las cargas dentro del parche es sólo otro ejemplo de la Tercera Ley de Newton: el parche en su conjunto no puede empujarse a sí mismo. Esto simplifica nuestro problema, ya que nos permite el campo eléctrico completo $E$ incluyendo el campo debido a todas las cargas en el parche "? ¿Puede alguien ayudarme a entender este párrafo?

3)¿Por qué el campo eléctrico media de la de dentro y fuera?

Answer 1

1. ¿Cómo puede realmente un campo ejercer fuerza sobre las cargas que crearon el campo?

Creo que el sentido del pasaje es asumir que no ejercen fuerzas sobre sí mismos. Quieren calcular la fuerza sobre el pequeño parche debida a todo lo demás, suponen que el parche no ejerce ninguna fuerza neta sobre sí mismo y, por lo tanto, calculan la fuerza debida a toda la envoltura esférica (parche incluido) y esperan que ésta sea igual a la fuerza sobre el parche debida a todas las demás partes de la envoltura esférica.

2. A qué se refiere el Sr. Purcell cuando dice "la fuerza sobre debido a todas las demás cargas dentro del propio parche".

Si asumes que las fuerzas que sienten las cargas son debidas a todas las cargas, entonces son las fuerzas debidas a todas las cargas que no están en el parche más las fuerzas debidas a las cargas en el parche. $F_\text{all}=F_\text{from patch}+F_\text{not from patch}.$ Si $F_\text{from patch}$ es cero y $F_\text{all}$ es fácil de calcular, entonces puedes usar esos dos (supuestos) actos para calcular $ F_\text{not from patch}.$

3. ¿Por qué el campo eléctrico es la media del interior y del exterior?

Imagina que tienes una cáscara delgada de espesor finito $t$ con una densidad de carga uniforme en la cáscara. Entonces el campo exterior sigue siendo $Q/4\pi\epsilon_0r^2,$ radialmente hacia el exterior donde $r$ es la distancia al centro y dentro del campo sigue siendo cero. Ambos resultados se derivan de la simetría esférica y de la ley de Gauss. Pero dentro de la cáscara el campo continuo va de uno a otro. Para una distancia $s$ desde el centro, la simetría esférica y la Ley de Gauss dan de nuevo, $E(s)4\pi s^2=\oint\vec E \cdot d\vec A=Q_\text{enc}/\epsilon_0=\int_{R-t}^R\rho 4\pi r^2dr/\epsilon_0,$ donde $\rho=Q/\int_{R-t}^R\rho 4\pi r^2dr.$

Así, $\rho=\frac{3Q}{4\pi(R^3-(R-t)^3)}$ es una constante y $E(r)=\rho\frac{r^3-(R-t)^3}{3\epsilon_0r^2},$ donde $r$ es la distancia desde el centro cuando estás en la concha. A continuación, podrías calcular la fuerza en cada capa del parche integrando $\int_{R-t}^RdF=\int_{R-t}^R E(r)dq=dA\int_{R-t}^R E(r)\rho dr.$ Por lo tanto, la fuerza es igual a $dA\rho\int_{R-t}^R E(r)dr=$ $$dA\rho\int_{R-t}^R \rho\frac{r^3-(R-t)^3}{3\epsilon_0r^2}dr=$$ $$\frac{ dA\rho^2}{3\epsilon_0}\int_{R-t}^Rr-(R-t)^3r^{-2}dr=$$

$$ \frac{dA\rho^2}{3\epsilon_0}\left( \frac{R^2-(R-t)^2}{2} +(R-t)^3 \left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R-t}\right)\right)$$

$$ =\frac{dA\rho^2}{3\epsilon_0}\left( \frac{2Rt-t^2}{2} +(R-t)^3\frac{R-t-R}{R(R-t)}\right)=$$

$$ \frac{dA\rho^2}{3\epsilon_0}\left( \frac{2Rt-t^2}{2} -(R-t)^2\frac{t}{R}\right)=$$

$$ \frac{dA\rho^2}{3\epsilon_0}\left( \frac{2Rt-t^2}{2} -\frac{(R^2-2Rt+t^2)t}{R}\right)=$$

$$ \frac{dA\rho^2}{3\epsilon_0}\left( \frac{-t^2}{2} -\frac{(-2Rt+t^2)t}{R}\right)=$$

$$ \frac{dA\rho^2t^2}{\epsilon_0}\left( \frac{1}{2} -\frac{t}{3R}\right).$$

Esta es la fuerza real sobre la cáscara de espesor finito t, si $t< <R$ entonces el segundo término está dominado por el 1/2 por lo que se puede despreciar. Y para una cáscara delgada $\rho t \approx \sigma$ por lo que obtenemos $F_\text{patch}\approx dA\sigma \frac{\sigma}{2\epsilon_0}=dq\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ = $dqE_\text{eff}.$ Así que vemos $E_\text{eff}\approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ pero que esto sobreestima sistemáticamente la fuerza, pero de una manera que se aproxima a la respuesta correcta a medida que el grosor se hace más y más pequeño. Para una cáscara real, siempre se podría hacer un grosor atómico para que esta aproximación se vea anulada por la aproximación del campo macroscópico que varía suavemente de un lugar a otro en lugar de disparar masivamente hacia un electrón cerca de cada lugar donde hay un electrón y disparar masivamente lejos de un protón cerca de cada lugar donde hay un protón.

Así que no hay nada malo en promediar los dos campos... si la cáscara es muy muy muy fina.

Para evitar cualquier confusión sobre la fuerza que estamos tratando de calcular, es la fuerza total que el parche siente debido a otras cargas, es decir, la suma de las fuerzas que cada parte del parche siente debido a los otros parches. Moralmente se quiere que la fuerza total sólo incluya la fuerza de interacción.

Si quieres la fuerza sobre cada parte del parche y crees que el parche ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre sí mismo, entonces cuando cada parte ejerce fuerzas sobre sí misma puedes calcular la fuerza total sobre cada parte del parche debido a todo lo demás y es igual a lo que quieres.

Prueba con un ejemplo mucho más sencillo. Tres cargas, dos de ellas (q1, q2) en un parche, y una (q3) fuera del parche.

Se quiere calcular la fuerza sobre el parche debida al no parche. Esto significa que quieres la fuerza entre q1 y q3 y la fuerza entre q2 y q3 y quieres la suma de esas dos fuerzas. ¿Por qué? Porque eso es lo que nos han pedido que calculemos.

¿Cómo podemos calcularla? Si creemos que q1 y q2 ejercen fuerzas iguales y opuestas entre sí, entonces podemos calcular la fuerza sobre q1 debida tanto a q2 como a q3 y calcular la fuerza sobre q2 debida tanto a q1 como a q3 y luego, al sumarlas, las fuerzas que q1 y q2 ejercen entre sí se anulan y obtenemos la suma de la fuerza entre q1 y q3 y la fuerza entre q2 y q3. Exactamente lo que queríamos. ¿Por qué lo hacemos? Para algunos problemas, la fuerza debida a todo es mucho más fácil de calcular. Esto es lo que trata de argumentar tu texto. Cómo de razonables son las suposiciones es algo que debes juzgar.

Más adelante encontrarás que las cargas intercambian momento con el campo y que se necesita tiempo para que el momento fluya desde donde una carga dio el momento hasta donde otra carga lo recibe, y mientras tanto el momento de las partículas no permanece constante, por lo que la tercera ley sólo se mantiene como conservación del momento y sólo cuando el campo también tiene momento.

Así que apelar a la tercera ley sin especificar todos los flujos de impulso es un poco engañoso. Y los argumentos sobre los campos y las fuerzas son para campos macroscópicos con distribuciones de carga continuas, de nuevo no es la realidad. Pero quería presentar esto como lo que pretendía su libro de texto.

Answer 2

¿Cómo puede realmente un campo ejercer fuerza sobre las cargas que crearon el campo?

Véase la sección 11.10 de la obra de Jackson Electrodinámica clásica donde dice "se debe hablar propiamente del campo electromagnético F en lugar de E o B por separado" . Ahora piensa en un solo electrón, simplemente sentado en el espacio. No tiene un campo eléctrico, tiene un electromagnético campo, y no hay fuerza en él. Pero ahora añade un segundo electrón inicialmente en reposo con respecto al primer electrón. Cada electrón está ahora sometido a una fuerza lineal, y se aleja del otro electrón. Esta fuerza es E, y es el resultado de dos F campos que interactúan. Véase Wikipedia : "un campo eléctrico es un campo vectorial que asocia a cada punto del espacio la fuerza de Coulomb experimentada por una carga de prueba" . Usa un electrón y un positrón, y la fuerza es atractiva. Si se lanza un electrón junto al otro, también se observa la fuerza de rotación B. Si se lanza un electrón junto a un positrón, se mueven uno alrededor del otro al atraerse, véase positronio . Esta fuerza lineal y/o rotativa se debe a que los electrones y positrones tienen una dinámica "spinor" naturaleza. En mi opinión, la mejor analogía común son los ciclones y los anticiclones.

¿Puede alguien ayudarme a entender este párrafo?

Me temo que no puedo. Si tienes un grupo de electrones cerca, la fuerza sobre ellos no es cero, se separan.

¿Por qué el campo eléctrico es la media del interior y del exterior?

Creo que es porque no es realmente el campo, es la fuerza. Pero no sigo del todo esta hipótesis porque los electrones no se separan, por lo que la fuerza neta sobre ellos debe ser nula.