¿Producto de matrices semidefinite positivas simétricas es positivo definido?

Question

Veo en wikipedia que es el producto de dos matrices definidas positivas simétricas definida positiva. ¿Tiene el mismo resultado para el producto de dos matrices semidefinite positivas?

Mi prueba de la caja definida positiva cae aparte para el caso semidefinite debido a la posibilidad de división por cero...

Answer 1

Tienes que ser cuidadoso acerca de lo que entendemos por "positivo (semi-)definitiva" en el caso de que no se Hermitian matrices. En este caso creo que lo que quieres decir es que todos los autovalores son positivo (o no negativo). Su declaración no es verdadera si "$A$ es positiva definida" significa $x^T A x > 0$ para todos los distinto de cero real vectores $x$ (o, equivalentemente, $A + A^T$ es positiva definida). Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ A = \pmatrix{ 1 & 2\cr 2 & 5\cr},\ B = \pmatrix{1 & -1\cr -1 & 2\cr},\ AB = \pmatrix{-1 & 3\cr -3 & 8\cr},\ (1\ 0) Una B \pmatrix{1\cr 0\cr} = -1$$

Deje $A$ $B$ ser positivo semidefinite real simétrica de las matrices. A continuación, $A$ tiene un resultado positivo de semidefinite raíz cuadrada, lo que voy a escribir como $A^{1/2}$. Ahora $A^{1/2} B A^{1/2}$ es simétrica y positiva semidefinite, y $AB = A^{1/2} (A^{1/2} B)$ $A^{1/2} B A^{1/2}$ tienen los mismos autovalores distintos de cero.

Answer 2

El producto de dos matrices simétricas del PSD PSD, iff el producto también es simétrica. Más generalmente, si A y B son PSD, AB es PSD iff AB es normal, es decir, (AB) ^ T AB = AB (AB) ^ T.

Referencia: Un producto de matrices semidefinite positivo, A.R. Meenakshi, Rajian C., álgebra lineal y sus aplicaciones, volumen 295, temas 1-3, 01 de julio de 1999, páginas 3-6.

Answer 3

El producto de dos matrices definidas positivas no es necesariamente positivo definida. El producto en la mayoría de los casos no es incluso simétrico y por supuesto, no es positiva definida.