Gradiente de difusión-reacción PDE

Question

He estado analizando una EDP y me he enredado con la notación. Si en una EDP de difusión-reacción se tiene el término

$$\nabla(D(u)\nabla u),$$

donde $u=u(x,y)$ ¿Significa esto que

$\nabla(D(u)\nabla u) = (\partial_x D(u)\nabla u, \partial_y D(u)\nabla u)=\left(\frac{dD}{du}\frac{\partial u}{\partial x}\nabla u+\nabla^2 u, \frac{dD}{du}\frac{\partial u}{\partial y}\nabla u+\nabla^2 u\right)$ $=(D'(u)\partial_x u, D'(u)\partial_y u) + \nabla^2 u(1,1)$ (que es un vector)?

¿O es $\nabla(D(u)\nabla u)=\nabla D(u) \cdot \nabla u + D(u) \nabla^2 u$ (que es un escalar)?

Y, en la segunda expresión, lo que es $\nabla D(u)$ exactamente, ¿no es sólo el derivado de $D$ por ejemplo $u$ ? Es decir, ¿es sólo $(D'(u) \partial_x u, D'(u)\partial_y u)=D'(u)\nabla u$ ?

Si la segunda expresión es correcta, entonces el término resultaría ser

$$\nabla(D(u)\nabla u)=D'(u)\nabla u \cdot \nabla u + D(u)\Delta u=D'(u)\Delta u + D(u)\Delta u = (D'(u)+D(u))\Delta u$$

Puede parecer una pregunta tonta, pero sólo quería asegurarme.

Answer 1

Como ha señalado rafa11111 en su comentario, el término de difusión habitual es la divergencia, y no el gradiente, de $D(u)\nabla u$ . Si eso era lo que querías decir, entonces el resultado es un escalar:

$\nabla\cdot(D(u)\nabla u)) =\\ =\nabla(D(u))\cdot \nabla (u)+D(u)\Delta(u)=\\ =D'(u)||\nabla(u)||^2+D(u)\Delta(u)$

Si, en cambio, realmente quisiste decir

$\nabla(D(u)\nabla u)$

el resultado es:

$\nabla(D(u))\otimes \nabla u+D(u)H(u)=\\D'(u)\nabla u\otimes \nabla u+ D(u)H(u)$

(Donde $\otimes$ indica el producto diádico o el producto tensorial y $H(u)$ es la matriz hessiana de $u$ )

La gran diferencia entre ambas posibilidades la genera el hecho de que, mientras $\text{div}$ reduce su grado de tensor en uno, $\text{grad}$ lo aumenta en uno.