Grupos, G grupo finito de orden 2p, p>2 primo y N es subgrupo normal con índice p en G , demuestre que G es cíclico

Question

Creo que he probado esta cuestión, pero mi prueba no es realmente elegante. Asumí por contradicción que no existe un elemento de orden 2p. entonces todos los elementos de lagrange son de orden 2 o p. Sea N {e,x} Primero probé que no puede haber otro grupo de orden 2, lo que implica que todos los elementos son de orden p. dejemos que $g_1$ sea un elemento de orden p. entonces miré el $G/N={N,g_1N,g_1^2N....,g_1^{p-1}N}$ y demostramos que todos estos cosets son cosets distintos. Ahora bien, como $g_1$ es de orden p, tenemos otro elemento g, que no pertenece a $<g_1>$ y $N$ . Ahora he demostrado que $gN$ no es ninguno de los cosets que mencioné anteriormente. así que esto es una contraposición a la suposición de que sólo tenemos p cosets. No me gusta esta prueba, me parece poco elegante. ¿Tienes otra prueba?

Answer 1

Desde $N$ tiene índice $p$ , $G/N$ tiene orden $p$ y, por tanto, es cíclico. Sea $gN$ generar $G/N$ .

En particular $g^pN=(gN)^p=N$ . Supongamos que $G$ no es cíclico, entonces el orden de $g$ debe ser $p$ (¿por qué?).

Desde $N$ es normal en $G$ , $g^{-1}xg=x$ (puede decir esto sin justificación, pero podría hacerlo con una justificación).

Por lo tanto, el orden de $gx$ es $2p$ (¿por qué?), así que $G$ es cíclico.